专升本高等数学一（解答题）模拟试卷2

专升本高等数学一（解答题）模拟试卷2

简单解答题

1.设函数y=f(x)由方程xe^f(y)=e^y所确定，其中f具有二阶导数，且f^’≠1，求

方程两边先取对数再求导得：lnx+f(y)=y，方程两边对x求导可得：

[*]+f^’(y)y^’=y^’，

再对x求导，一[*]+f^’’(y)(y^’)²+f^’(y)y^’’=y^’’，

代y^’并解出：y^’’=一[*]．

解析：

2.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x₁，x₂，使

因a，b＞0，故0＜[*]＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=[*]．

又分别在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得

f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f^’(x₁)，

f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f^’(x₂)(其中0＜x₁＜ζ＜x₂＜1)

即有

[*]=1－ζ．

考虑到1－[*]，并将上两式相加，得

[*]=1，

即存在不相等的x₁，x₂使[*]=a+b．

解析：

3.求

由dy=[*]，

而t=1时，y=a，x=∫₀¹[*]，

故切线方程为y一a=[*]x．

解析：

4.设D为曲线y=x²与直线y=x所围成的有界平面图形，求D绕x轴转一周所得旋转体的体积V．

由[*]可解得两曲线的交点为(0，0)，(1，1)．

旋转体的体积V=∫₀¹π[x²一(x²)²]dx=[*]．

解析：

5.设2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，确定了函数z=f(x，y)，求

在2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z两边对x求导，则有

2cos(x＋2y—3z)．[*]，

整理得[*]．

同理，由2cos(x＋2y一3z)[*]，

得[*]=1．

也可使用公式法求解：

记F(x，y，z)=2sin(x+2y一3z)一x一2y+3z，

则F_x=2cos(x+2y一3z)．(一3)＋3，

F_y=2cos(x+2y一3z)．2—2，

F_x=2cos(x+2y一3z)一1，

故[*]=1．

解析：

6.某工厂建一排污无盖的长方体，其体积为V，底面每平方米造价为a元，侧面每平方米造价为b元，为使其造价最低，其长、宽、高各应为多少?

设长方体的长、宽分别为x，y，则高为[*]，又设造价为z，由题意可得

z=axy+2b(x+y)[*](x＞0，y＞0)，

[*]

由于实际问题可知造价一定存在最小值，故x=y=[*]就是使造价最小的取值，此时高为[*]．

所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为[*]时，工程造价最低．

解析：

7.计算

[*]

解析：

8.计算，其中D由Ox轴及曲线y=

[*]

解析：

9.设函数f(x，y)连续，且f(x，y)=x+yf(μ，ν)dμdν，其中D由y=

设A=[*]，故

f(x，y)=x＋[*]yf(μ，ν)dμdν=x+yA，

两边求二重积分，则

[*]

从而A=[*]，故f(x，y)=x+[*]y．

解析：

求下列曲线积分：

10.∫_Lxds，其中L为抛物线y=x²上从点O(0，0)到点A(1，

因y=[*]x²，0≤x≤1，且y^’=x，所以ds=[*]dx，于是∫_Lxds=∫₀¹x[*]．

解析：

11.∫_L

x^’(t)=1一cost，y^’(t)=sint，所以

[*]

于是

<

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