专升本高等数学一（解答题）模拟试卷3
简单解答题
1.计算
[*]．
解析：
2.设f(x)=
因[*]=1．
故[*]=1=f(0)，f(x)在x=0处连续，又
[*]
故f(x)在x=0处连续、可导，且f’(0)=0．
解析：
3.设函数y=f(x)由方程xef(y)=ey所确定，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求
方程两边先取对数再求导得：lnx+f(y)=y，方程两边对x求导可得：
[*]+f’(y)y’=y’，
再对x求导，一[*]+f’’(y)(y’)2+f’(y)y’’=y’’，
代y’并解出：y’’=一[*]．
解析：
4.设函数y=alnx+bx2+5x在x=1处取极值且x=
y’=[*]＋2bx+5，y’’=[*]+2b，又有已知条件可得y’(1)=a+2b+5=0，y’’([*])=—4a+2b=0，联立解得a=一1，b=一2．
解析：
5.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，
令F(x)=f(x)一x，
则有F(0)=f(0)一0=0，
F(1)=f(1)一1=一1＜0，
[*]＞0．
又F(x)在[[*]，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈([*]，1)，
使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η)[*](0，1)，使F’(ξ)=0，f’(ξ)=1．
解析：
6.一艘轮船甲以20海里／小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙在其正北82海里处以16海里／小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?
设经过t小时两船相距S海里，则S=[*]，
即S2=(82—16t)2+(20t)2，
所以(S2)’=2．(82—16t)．(一16)+2．20t．20，
令(S2)’=0，得驻点t=2，即经过两小时后两船相距最近．
[*]
解析：
设函数f在[a，b]上连续，且f(x)＞0，若F(x)=∫axf(t)dt+∫bx
7.F(x)为[a，b]上的严格单调递增函数；
因为
F’(x)=[*]+2≥2，
所以F(x)在[a，b]上严格单调增加．
解析：
8.方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．
因为F(a)=∫ba[*]dt=—∫ab[*]
dt＜0，F(b)=∫abf(t)dt＞0，所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程F(x)=0在(a，b)内至少存在一个根，又由于F(x)在[a，b]上严格单调增加，所以方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．
解析：
9.设2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，确定了函数z=f(x，y)，求
在2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z两边对x求导，则有
2cos(x＋2y—3z)．[*]，
整理得[*]．
同理，由2cos(x＋2y一3z)[*]，
得[*]=1．
也可使用公式法求解：
记F(x，y，z)=2sin(x+2y一3z)一x一2y+3z，
则Fx=2cos(x+2y一3z)．(一3)＋3，
Fy=2cos(x+2y一3z)．2—2，
Fx=2cos(x+2y一3z)一1，
故[*]=1．
解析：
10.求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．
∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，两边对x求导，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次对x求导，得y’一y=sinx为一阶线性非齐次微分方程．其中
P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解为
y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]
=Cex一[*](sinx+cosx)，
又由y(0)=一1，得C=[*]，故原方程解为y(x)=[*](ex+sinx+cosx)．
解析：
11.将f(x)=本文档预览：3500字符，共4455字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载
