专升本高等数学二（解答题）模拟试卷8
简单解答题
1.求极值：
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解析：
2.求下列函数的全微分：
[*]
[*]
解析：
已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1．
3.判别曲线y=F(x)在R上的凹凸性，并说明理由；
∵F’(x)=f(x)一2x，F’’(x)=f(x)一2，且由题意知f’(x)≤0(x∈R)，
∴F’’(x)＜0(x∈R)，
故曲线y=F(x)在R上是凸的；
解析：
4.证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．
显然F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=∫01f(t)dt一2＞∫012dt一2=0，
∴方程F(x)=0在区间(0，1)内至少有一个实根．
由F’’(x)＜0知F’(x)在R上单调递减，
∴x＜1时，有F’(x)＞F’(1)=f(1)一2=0，
由此知F(x)在(0，1)内单调递增，
因此方程F(x)=0在(0，1)内至多只有一个实根，
故方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．
解析：
5.设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F’’(ζ)=0．
显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F’(η)=0，又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x)，知F’(a)=0．因此，F’(x)在[a，η]上满足罗尔定理条件，故存在ζ∈(a，η)[*](a，b)，使得F’’(ζ)=0．
解析：
6.设z=z(x,y)由下列方程确定，求dz。
[*]
解析：
7.曲线x=y+ey，直线x=y，y=1，y=2围成一平面图形B，求图形B绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积Vy．
Vy=π∫12[(y+ey)2—y2]dy=π∫12(2yey＋e2y)dy=[*]．
解析：
8.求曲面z=
设切点为P(x0,y0,z0)，曲面z=[*]+y2在P点的法向量为(x0，2y0，一1)，所给平面的法向量为(2，2，一1)，由题设条件有[*]+y02，由此得切点坐标为x0=2，y0=1，z0=3．于是所求切平面方程为2(x一2)+2(y一1)一(z一3)=0，即2x+2y—z一3=0．
解析：
9.求y’’+y’一12y=(x+2)e－x的通解．
原方程对应的齐次方程的特征方程为r2+r一12=0，解得r1=一4，r2=3，所以对应的齐次方程的通解为[*]=C1e－4x+C2e3x，λ=一1，不是特征方程的根，故设原方程的特解为y*=e－x(Ax+B)，则
(y*)’=e－x(一Ax—B+A)，(y*)’’=e－x(Ax+B一2A)，
代入原方程得e－x(Ax+B一2A)+e－x(一Ax—B+A)一12e－x(Ax+B)=(x+2)e－x，
解得[*]，故原方程的通解为y=C1e－4x+C2e3x+e－x[*]．
其中C1，C2为任意常数．
解析：
10.
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解析：
11.
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解析：
12.求下列函数的偏导数：
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解析：
13.
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当k=2时，f(x)在x=0处连续。
解析：
14.
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