2016年陕西省专升本（高等数学）真题试卷

2016年陕西省专升本（高等数学）真题试卷

证明题

1.设a＞b＞0，n＞1，证明：nb^n-1(a一b)＜aⁿ一bⁿ＜na^n-1(a一b)．

设f(x)=xⁿ，

显然f(x)在闭区间[b，a]上连续，在开区间(b，a)内可导，

由拉格朗日中值定理得，

在(b，a)内至少存在一点ξ，

使得 f(a)一f(b)=f’(ξ)(a一b)，

即 aⁿ一bⁿ=nξ^n-1(a一b)，

因为 b^n-1＜ξ^n-1＜a^n-1，

所以 nb^n-1(a-b)＜aⁿ一bⁿ＜naⁿ(a-b)．

解析：

2.求由曲线y=x²和

[*]

V=∫₀¹[π[*]-π(x²)²]dx

[*]

解析：

选择题

3.点x=0是函数f(x)=(B)

A. 连续点

B. 可去间断点

C. 跳跃间断点

D. 无穷间断点

解析：

4.设在闭区间[a，b]上，f(x)＞0，f’(x)＞0，f’’(x)＜0，令S₁=∫_a^bf(x)dx，S₂=f(a)(b一a)，S₃=(D)

A. S₁＜S₂＜S₃

B. S₂＜S₁＜S₃

C. S₃＜S₁＜S₂

D. S₂＜S₃＜S₁

解析：

5.曲面z=2x²+y²一3在点(1，1，0)处的切平面方程为(A)

A. 4z+4y—z一8=0

B. 4x+4y+z一8=0

C. 4x+4y—z+8=0

D. 4x+4y+z+8=0

解析：

6.微分方程(B)

A. xy=C

B. C. x—y=C

D. x²+y²=C

解析：

7.设幂级数(C)

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 敛散性不确定

解析：

填空题

8.极限

2

解析：

9.已知当x→0时，∫₀^sinx与x^α是同阶无穷小，则常数α=______．

3

解析：

10.定积分∫_-3³(xcosx+

9π

解析：

11.二元函数z=x^y(x＞0，x≠1)的全微分dz=______．

[*]

解析：

12.设曲线L为圆周x²+y²=1，则对弧长的曲线积分

2π

解析：

解答题

13.已知函数

因为f(x)在x=0处可导 所以f(x)在x=0处连续，

从而有[*]

由 f(x)在x=0处可导，

且 f_–’(0)=[*]

f₊’(0)=[*]

得 a=1．

解析：

14.设函数y=y(x)由参数方程所确定，求

[*]

解析：

15.求函数f(x)=x³一3x+1的极值点及其图形的拐点．

由 f’(x)=3x²一3=0 得驻点x₁=一1，x₂=1，

f’’(x)=6x，

因为 f’’(-1)=一6＜0，f’’(1)=6＞0，

所以 x₁=—1为极大值点，x₂=1为极小值点，

又因为 f’’(0)=0，且当x＜0时，f’’(x)＜0；当x＞0时，f’’(x)＞0，

又 f(0)=1，所以函数图形的拐点为(0，1)．

解析：

16.求不定积分∫arctanxdx．

[*]

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