普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷5

普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷5

解答题

1.求微分方程y’’一2y’=3e^2x的通解．

特征方程为λ²一2λ=0，特征根λ₁=0，λ₂=2，

对应齐次方程的通解y=C₁e^2x+C₂，

设方程y’’一2y’=3e^2x的一个特解为y^*=Axe^2x，

代入方程y’’一2y’=3e^2x，得[*]，特解为y^*=[*]xe^2x，

故原方程的通解为y=C₁e^2x+C₂+[*]xe^2x．

解析：

2.已知y=lnsin(1-2x)，求dy／dx．

[*]

解析：

f_n(x)=x+x²+x³+…+xⁿ，n∈(2、3、…∞)，

3.证明f_n(x)=1(0，+∞)内有且只有一个实根．

设F(x)=f_n(x)-1，由于F(0)=-1，[*]F(x)=+∞，F’(x)=1+2x+…+nx^n-1＞0，x∈(0，+∞)，

即F(x)为增函数，故F(x)在(0，+∞)上与x轴有且只有一个交点，即f_n(x)=1在(0，+∞)内有且只有一个实根．

解析：

4.设

当x=±1时，显然[*]f_n(x)不存在，

当x≠±1时，由于f(x)=x+x²+x³+…+xⁿ=[*]

[*]

所以|x|＜1，即-1＜x＜1．

解析：

5.求幂级

令x-1=t，则[*](x-1)ⁿ可化为[*]又因为[*]，所以级数[*]的收敛半径为R=[*]=3，即收敛区间为-3＜t＜3，则-3<x-1<3，解得-2<x<4.所以幂级数[*](x-1)ⁿ的收敛区间

解析：

6.求极限

[*]

解析：在利用罗比达法则之前，往往要先观察，看能否里哟那个等价无穷小替换，已达到简化计算的目的，如在本题中用

7.求微分方程：(x²—1)y^’+2xy—cosx=0的通解．

法1：原方程变形：[*]

(1)先解[*]

(2)设原方程有形如[*]的解，其中c(x)待定．带入原方程的通解为[*]

法2：由公式[*][*]

解析：

8.求过点(1，2，1)且与直线

设π₁：x+y+2z一2=0的法向量n₁=(1,1，2)2π₂：x+2y+z+1=0的法向量n₂=(1，2，1)，设直线的方向向量为S，则s=n₁×n₂=[*]所求平面方程一3(x一1)+(y一2)+(z—1)=0即3x—y—z=0．

解析：本题考察的是空间平面方程．

9.设求

[*][*][*]原式=2+ln2

解析：本题考察的是定积分的换元积分法．

10.讨论函数f(x)=

对于f(x)，因为[*]为有界函数，根据无穷小量与有界量的积仍为无穷小量知[*]=0．又当x=0时，f(0)=0．故[*]=f(0)．

故f(x)在x=0处连续且可导．

解析：

11.求由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，

在区间[*]上两曲线交点的横坐标为[*][*]

解析：

12.求

[*]

=－2cot[*]+C，C为任意常数

解析：

13.求微分方程x³y’+2xy=sinx满足条件y(π)=0的解．

x²y’+ 2xy=slnx y(z)=0

观察可发现等式左边为(x²y)的变数，

即(x²y)’=sinx，

∴x²y=∫sinxdx=一cosx+c．

代入y(z)=0，得c=一1．

[*]

解析：

14.已知f具有二阶连续的偏导数，若Z=f(xy，x+y)，求，

解：[*]=f′₁y+f′₂，[*]=xyf₁₁″+(x+y)f₁₂″+f₂₂″

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