普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷19

普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷19

解答题

1.求微分方程(1＋χ²)dy－(χ－χsin²y)dχ＝0满足初始条件y｜_χ＝0＝0的特解．

将原方程变形为[*]

两边积分得[*]

即tany＝[*]ln(1＋χ²)＋C，

又因为χ＝0时，y＝0，所以C＝0．

故原方程的特解为tany＝[*]ln(1＋χ²)．

解析：

2.设函数y=y(x)由y=

[*]

解析：

3.求通过直线

设所求平面的法向量为n，则n垂直于两条已知直线，而两直线的方向向量分别为

s₁={2，3，4}及s₂={1，1，2}，

则

n=s₁×s₂=2i-k，

并且该平面过点(1，2，-3)，

故所求平面的方程为

2(x-1)-(x+3)=0，

即2x-z-5=0．

解析：

4.求极限

原式[*]

解析：

5.把函数展开成

[*]

解析：

6.求

令[*]则x=t²一1，dx=2tdt[*]

解析：考察定积分的第二类换元积分法．

7.求极限

[*]

解析：在利用罗比达法则之前，往往要先观察，看能否里哟那个等价无穷小替换，已达到简化计算的目的，如在本题中用

8.求微分方程y^’一y一2xe^x=0通解．

p(x)=-1，q(x)=2xe^x，∫p(x)dx=一x+C

∴y=e^x(x²+C)

解析：本题考察的是一阶线性微分方程的通解．

9.问a为何值时，方程组

对方程组的增广矩阵[*]作初等行变换[*]、当a≠1且[*]时，[*]方程组有唯一解；2、当[*]时，[*]方程组无解3、当a=1时，[*]方程组有无穷多解；

解析：

10.设求

令x+1=t，dx=dt[*]

解析：

11.设方程sin(2x+3y一5z)=2x+3y一5z确定二元隐函数z=z(x，y)，证明

F(x，y，z)=sin(2x+3y一5z)一2x一3y+5z，F_x^’=2cos(2x+3y一5z)-2F_y^’=3cos(2x+3y一5z)一3，F_z^’=5cos(2x+3y－5z)+5[*][*]

解析：

12.求不定积分∫x²lnxdx

∫x²lnxdx=[*]∫lnxdx³

=[*]x³lnx－[*]∫x²]dx

=[*]x³lnx－[*]x³+C

解析：

13.求瑕积分

x=0是瑕点，令t=[*]，则x=t²，当x→0^＋时，t→0，x=1时，t=1

[*]

再令t=tanu，则当t=1时，u=[*]，当t=0时，u=0

所以[*]

解析：

14.求函数z(x，y)=y³-x²+6x-12y+10的极值

由[*]解得驻点为(3，2)和(3，-2)．

又z_xx=-2，z_xy=0，z_yy=6y，对于驻点(3，2)，因为A=z_xx(3，2)=-2＜0，B=z_xy(3，2)=0， C=z_yy(3，2)=12，

所以AC-B²=-24＜0，于是点(3，2)不是函数的极值点．

对于驻点(3，-2)，因为

A=z_xx(3，-2)=-2＜0，B=z_xy(3，-2)=0，C=z_yy(3，-2)=-12，

于是AC-B²=24>0．

所以函数在点(3，-2)处取极大值，极大值为z(3，-2)=35．

解析：

15.求y″－2y′一3

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