普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷22
解答题
1.计算定积分
用换元法，变量替换：令[*]则[*]，dx=tdt，[*]
解析：
2.设z=xf(
，y)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求
[*]
解析：根据z=
3.计算二重积分
积分区域p如图中阴影部分所示．
[*]
记圆域χ2＋y2≤1为D1，
[*]
解析：
4.计算曲线积
由格林公式得
[*]
解析：
5.计算对坐标的曲线积分I=
令P=y+sinx，Q=3x+cosy，D=(x一1)2+y2≤9，
[*]
由格林公式得：
[*]
解析：
6.求不定积分∫ln(x+
[*]
解析：
7.今欲制一容量等于V(m3)的无盖圆柱形桶，底用铜制，侧壁用铁制．已知每平方米的铜价比铁价贵5倍，问应怎样做法，才能是费用最省?
设桶高为h，底面的半径为r．由条件πr2．h=V得[*]设每平方米铁价为a元，C为所需费用[*]由实际问题可知，当[*]h=5r时，费用最省．注：解答歧义．按准确理解应有[*]
解析：
8.计算二重积分I=
D是由直线y=x，y=2x，x=1所围成的闭区域，则D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤2x}，所以I=[*]
解析：
9.求微分方程x2dy+(y-2xy-x2)dx=0的通解．
微分方程x2dy+(y-2xy-x2)dx=0可化为y’+[*]=1，为一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)=[*]，Q(x)=1，则方程的通解为y=[*]
解析：
10.计算四阶行列式
原式=[*]
解析：注意利用该行列式的特殊性质：各行(列)元素的和都相等．(熟练情况下可以运用公式即可迅速得解)
11.设
[*]即f(t)=t2+1．故[*]
解析：本题考察的是利用函数的奇偶性计算定积分．
12.求定积分
[*]
解析：
13.求定积分
[*]
解析：本题考察的是分部积分法求定积分．
14.设函数y=y(x)由方程exy=x+y所确定，求
exy=x+y，两边同时对x本导．
exy(y+xy’)=1+y’，
yexy+xexyy’=1+y’，
[*]
解析：
15.求
[*]
解析：本题采用凑微分法求定积分．
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