普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷12

普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷12

解答题

1.设函数f(χ)＝

[*]

(2)平面图形如图所示，故

[*]

解析：

2.计算曲线积

由格林公式得

[*]

解析：

3.求幂级数

[*]，收敛半径R=3，

当x=3时，级数[*]收敛，当x=一3时，级数[*]发散，

故收敛域为(一3，3]．

令

[*]

=ln3一ln(3+x)，x∈(一3，3]

解析：

4.将函数f(x)=

[*]

解析：

5.设函数z=(x²+y²，ysinx)，f有二阶连续偏导数，求

[*]

解析：

6.求表面积为a²而体积为最大的长方体的体积．

设长方体的长宽高分别为x，y，z，则其表面积为

2(xy+xz+yz)=a²①，

而所求体积V=xyz②，

题中即为求体积V在条件①下的最值，

构造拉格朗日函数，

L=xyz-λ(2xy+2xz+2yz-a²)，

[*]

由于实际问题，最大值一定存在，故当长方体为棱长为[*]a的正方体时，其体积最大，最大体积V_max=[*]a³．

解析：

7.求不定积分

令x=tant,[*]，dx=sec2²dt

原式=[*]sec²tdt=∫tan²tdsect=∫(sec²t-1)dsect=[*]sec²t-sect+C=[*]

解析：

8.求微分方程x²dy+(2xy-x+1)dx=0的通解．

微分方程x²dy+(2xy-x+1)ax=0可化为x²dy+2xydx+(1-x)ax=0，即d(x²y)+(1-x)dx=0，即d(x²y)=(x-1)dx=d[[*](x-1)²]，所以原微分方程的通解为x²y=[*](x-1)+C，即y=[*]

解析：

9.设y=e^-xsinx，求y^’’．

y^’=e^-x(一x)^’sinx+e^-xcosx=e^-x(cosx—sinx)y^’’=e^-x(cosx—sinx)+e^-x(一sinx—cosx)=e^-x[ecosx+sinx+sinx+cosx]=-2e^-xcosx

解析：

10.已知

因y=[*]，则在两边取自然对数得lny=2lnx+[*]ln(1-x)-[*]ln(1+x)，两边对x求导得[*]，所以得y’=y.[*]

解析：

11.设y=f(x)是由方程e^xy+ylnx=sin2x确定的隐函数，求

方法一 方程两边同时对x求导，得e^xy(y+xy’)+[*]+y’lnx=2cos2x，则y’=[*]

　　方法二 令F(x，y)=e^xy+ylnx-sin2x，则[*](x，y)=ye^xy+[*]-2cos2x，[*](x，y)=xe^xy+lnx，从而y’=[*]

解析：

12.解方程组

增广矩阵[*]所以同解方程组为[*]故原方程组的通解为：[*]为任意实数．

解析：

13.设函数f(x)=sinx，f[φ(x)]=1－x²，求φ(x)．

由题意，f[φ(x)]=sinφ(x)=1－x²，φ(x)=2kπ+arcsin(1－x²)或φ(x)=2kπ＋π－arcsin(1－x²)；φ(x)＝2kx+arcsin(1一x²)或φ(x)=2kπ－π—arcsin(1－x²)

解析：

14.求函数z(x，y)=y³-x²+6x-12y+10的极值

由[*]解得驻点为(3，2)和(3，-2)．

又z_xx=-2，z_xy=0，z_yy=6y，对于驻点(3，2)，因为A=z_xx(3，2)=-2＜0，B=z_xy(3，2)=0， C=z_yy(3，2)=12，

所以AC-B²=-24＜0，于是点(3，2)不是函数的极值点．

对于驻点(3，-2)，因为

A=z_xx(3，-2)=-2＜0，B=z_xy(3，-2)=0，C=z_yy(3，-2)=-12，

于是AC-B²=24>0．

所以函

本文档预览：3500字符，共3895字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载