普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷7
解答题
1.计算定积分
利用定积分换元法，被积函数中有[*]，令x=sint，则[*]
解析：
2.求微分方程y\\
令y’=P，由y\\
解析：【注】本题也可用二阶常系数线性非齐次微分方程的一般解法求解．
3.求极限
[*]
解析：
4.求函数f(χ)＝log4(4χ＋1)－
f(χ)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(χ)＝[*]．
令f′(χ)＝0，解得χ＝0，
当χ＜0时，f′(χ)＜0；当χ＞0时，f′(χ)＞0．
所以f(χ)在区间(－∞，0]内递减，在(0，＋∞)内递增；f(0)＝0是f(χ)的极小值．
解析：
5.
[*]
解析：
6.设f(x)连续可导，且f(0)=0，f’(0)=1，令φ(x)=
[*]
解析：
7.将长为l的铜丝切成两段，一段围成圆形，另一段围成正方形，问这两段铜丝的长各为多少时圆形与正方形的面积之和最小?
设两段铜丝的长分别为x，y，由题意，x+y=l，则圆面积与正方形面积之和为z=π．[*]
该题即求z=[*]在x+y=l条件下的极限．
令F(x，y，λ)=[*]+λ(x+y-l)，
[*]
由实际意义知，当两段铜丝的长分别为：[*]时，圆形与正方形的面积之和最小．
解析：
8.设z=y3+xf(x，y)，其中f(x，y)为可微函数，求dz．
因[*]
则dz= [f(x，y)+[*](x，y)]dx+[3y2+[*](x，y)]dy．
解析：
9.
[*]
解析：
10.求幂级数
设un(x)=[*]，则
[*]
所以，当x2＜1时，即-1＜x＜1时，级数收敛，
则幂级数的收敛区间为(-1，1)，
又当x=-1时，对应的数项级数为[*]，该级数发散，
当x=1时，对应的数项级数为[*]，该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛．
所以，已知级数的收敛域为(-1，1]．
解析：
11.求曲面z=e-(x2+y2)，z=0，x2+y2=R2围成的立体的体积V．
[*]
解析：
12.求不定积分
令x=3tant，则dx=3sec2tdt，[*]原式=[*]
解析：利用第二类换元法，令x=3tgt，将根号去掉，切忌最后要把t再代回成x．
13.求极限
原式=[*]
[*]
解析：本题考察求极限的罗必塔法则及重要极限
14.设平面区域D是由圆周x2+y2=1所围成的闭区域，计算二重积分
[*]
解析：本题考察二重积分利用极坐标求重积分的方法．
15.设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2—6z=0确定，求
[*]又[*]
解析：本题考察的是二元函数的混合偏导数．
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