普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷16
解答题
1.求微分方程y’’一2y’=3e2x的通解．
特征方程为λ2一2λ=0，特征根λ1=0，λ2=2，
对应齐次方程的通解y=C1e2x+C2，
设方程y’’一2y’=3e2x的一个特解为y*=Axe2x，
代入方程y’’一2y’=3e2x，得[*]，特解为y*=[*]xe2x，
故原方程的通解为y=C1e2x+C2+[*]xe2x．
解析：
2.计算对坐标的曲线积分I=
令P=y+sinx，Q=3x+cosy，D=(x一1)2+y2≤9，
[*]
由格林公式得：
[*]
解析：
3.设某产品每月产量为x吨时，总成本函数为C(x)=x2+20x+900(元)，问当月产量为多少时，平均成本最低?
由题意可知平均成本为[*]
所以，x=30为[*]的极小值点，也是最小值点，即月产量为30吨时平均成本最低．
解析：
4.设z=f(x+y，xy)可微，求全微分dz．
令u=x+y，v=xy，则
[*]
所以dz=[fu(u，v)+fv(u，v)y]dx+[fu(u，v)+fv(u，v)x]dy
解析：
5.求曲面z=e-(x2+y2)，z=0，x2+y2=R2围成的立体的体积V．
[*]
解析：
6.求线性方程组：
[*]同解方程组[*]得[*]通解[*]
解析：
7.设z=f(x+y，y2一x2)，其中z=f(u，v)具有二阶连续偏导数，求
20．令x+y=u，y2一x2=vz=f(u，v)[*]
解析：
8.求极限
原式=[*]
解析：(该题多次使用罗比达法则求一次导代一次数)
9.设二元函数
求
[*][*]
解析：
10.计算
区域D的边界交点坐标为(1，1)，(2，2)，([*]，2)，根据积分区域的特点可先选择对x积分，再对y积分，此时积分区域为D={(x，y)｜1≤y≤2，[*]≤x≤y}，则[*]
解析：
11.设y=f(x)是由方程exy+ylnx=sin2x确定的隐函数，求
方法一 方程两边同时对x求导，得exy(y+xy’)+[*]+y’lnx=2cos2x，则y’=[*]
方法二 令F(x，y)=exy+ylnx-sin2x，则[*](x，y)=yexy+[*]-2cos2x，[*](x，y)=xexy+lnx，从而y’=[*]
解析：
12.
[*]
=[*]=[*]
=[*]=[*]
说明：此题通分后，也可用洛必达法则解答，如下所示：
[*]=[*]=[*]
解析：
13.计算
[*]
解析：
14.计算不定积分
[*]
解析：
15.将f(x)=
[*]
其收敛区间为(一∞，+∞)．
解析：利用ex=
(一∞＜x＜+∞)，e－x=
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