普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷15
解答题
1.求过点(1，2，3)且垂直于直线
由题意所求平面的法向量为：n=(1,1,1)×(2,-1,1)=[*]=(2,1,-3)根据点法式，所求平面方程为2(x-1)+(y-2)-3(z-3)=0，即2x+y-3z+5=0．
解析：
2.求不定积分
原式 [*]
解析：
3.求级数
∵[*]
∴原级数收敛半径为19／25，令|x-1|＜6／25，得19／25＜x＜31／25，
且当x=19≥25时，原级数为[*](-1)n．n发散，
∴原级数的收敛域为(19／25，31／25)．
解析：
4.求解微分方程(y2-6x)dy+2ydx=0．
原微分方程可化为2y．[*]-6x=-y2，将方程看作关于z的一阶线性微分方程，即[*]y2+Cy3，即原微分方程的通解为x=[*]y2+Cy3．
解析：
5.已知函数x=x(y)由参数方程
[*]
解析：
6.求微分方程x2dy+(2xy-x+1)dx=0的通解．
微分方程x2dy+(2xy-x+1)ax=0可化为x2dy+2xydx+(1-x)ax=0，即d(x2y)+(1-x)dx=0，即d(x2y)=(x-1)dx=d[[*](x-1)2]，所以原微分方程的通解为x2y=[*](x-1)+C，即y=[*]
解析：
7.求定积分
[*]
解析：
8.设二元函数
求
[*][*]
解析：
9.求极限
[*]
解析：本题考察的是罗必塔法则及积分上限函数的导数．
10.计算定积分
[*]
解析：
11.已知函数f(χ)具有连续的一阶导数，且f(0).fˊ(0)≠0，求常数a和b的值，使
由题意知：af(0)+bf(0)-f(0)=0，afˊ(0)+2bfˊ(0)=0，
因为f(0).fˊ(0)≠0，即f(0)≠0，fˊ(0)≠0，
所以a+b-1=0，a+2b=0，
由此解得 a=2，b=-1。
解析：
12.一圆柱形的储水桶高为5米，底半径为2米，桶内水深为3米，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功?(其中水的密度为ρ克／米3)
以圆柱形储水桶上底面的圆心为坐标原点，垂直向下为x轴的正向建立坐标系。在[x，x+dx]上水的体积为：22．π．dx=4πdx吸此薄层的水所做的功为：dW=4πpgdx．x=4πpgxdx(J)所做的功为：[*]
解析：
13.根据a的取值情况，讨论级数
将级数的一般项进行分子有理化，得到
un=[*]
所以有[*].un=2．
(1)当a＞[*]时，
由于[*]收敛，
因此级数[*]收敛；
(2)当a≤[*]时，
由于[*]发散，
因此级数[*]发散．
解析：
14.设y=y(x)由方程y2一3xy+x3=1确定，求dy．
将方程两端关于x求导，可得2yy′－3(y+xy′)+3x2=0，可解得
[*]
因此
dy—y′dx=[*]dx．
解析：若y=y(x)由方程F(x，y)=0确定，求dy常常有两种方法．
(1)将方程F(x，y)=0直接求微分，然后解出dy．
(2)先由方程F(x，y)=0求y′，再由dy=y′dx得出微分dy．
15.己知函数
=
，求
，
解：当z>0，y>0时，令F(x，y，z)=zlnz—zlny一3x，
Fx=一3，Fy=一
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