普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷13

普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷13

解答题

1.设函数u=f(x—y，x+y)，其中f具有二阶连续偏导数，求和

[*]=f₁’+f₂’，

[*]=f₁₁’’(-1)+f₁₂’’+f₂₁’’(-1)+f₂₂’’=f₂₂’’-f₁₁’’.

解析：

2.求微分方程y’’－4y’+8y=e^xsinx的一个特解．

这里f(x)=e^xsinx，其中α=1，β=1，α=±iβ=1±i，不是特征方程的特征根，所以可设原方程的特解为

[*]=e^x(Acosx+Bsinx)(其中A和B是待定常数)，

对[*]求导，得

[*]=[(A+B)cosx+(B－A)sinx]e^x，

[*]=(2Bcosx－2Asinx)e^x．

把[*]代入原方程，整理，得

e^x[(4A－2B)cosx+(4B+2A)sinx]=e^xsinx．

比较上式两端同类项的系数，得

[*]

解得[*]．于是原方程的特解为

[*]

解析：

3.设z=u²+v²，u=x+y，v=x-y，求

由题可得，[*]=2u．1+2v．1=2(x+y)+2(x-y)=4x，

[*]=2u．1+2v．(-1)=2(x+y)-2(x-y)=4y．

解析：

4.将

[*][*]

解析：

5.计算

令x=tant，则dx=sec²tdt．

原式=[*]

解析：

6.求函数y=的导数

lny=x[lnx-ln(1+x)]

则[*]

解析：

7.设方程

方程化为[*]两边对x求导数，得[*][*]得y－xy^’=x+yy^’解得[*]

解析：

8.求函数

∵x>0,[*]驻点x=e．

∴当0<x<e时，y^’>0，y在(0，e]上严格单调增加；

当x>e时，y^’0上取得最大值[*]

解析：

9.求幂级

令x-1=t，则[*](x-1)ⁿ可化为[*]又因为[*]，所以级数[*]的收敛半径为R=[*]=3，即收敛区间为-3＜t＜3，则-3<x-1<3，解得-2<x<4.所以幂级数[*](x-1)ⁿ的收敛区间

解析：

10.求不定积分

法1：[*]令[*]所以，[*]

法2：令[*]带入得：[*][*][*]

解析：

11.求极限

原式=[*]

解析：(该题多次使用罗比达法则求一次导代一次数)

12.计算由曲线

两曲线交点为(1，1)[*]

解析：本题考察的是元素法求平面图形的面积．法2：大面积减小面积．

13.设三阶方阵A、B满足关系式：A^-1BA=6A+BA，且

[*]在A^-1BA=6A+BA两边右乘以A^-1，得A^-1B=6E+B，即(A^-1一E)B=6E，于是B=6(A^-1一E)^-1[*]

解析：

14.计算定积分

令[*]，则χ=t²-1，dχ=2tdt，

[*]

解析：

15.根据a的取值情况，讨论级数

将级数的一般项进行分子有理化，得到

u_n=[*]

所以有[*].u_n=2．

(1)当a＞[*]时，<

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