普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷21

普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷21

解答题

1.求定积分：

令[*]=t，则x=t²，dx=2tdt，x=0时，t=0，x=1时，t=1，则∫₀¹[*]dx=∫₀¹e^t.2tdt=2∫₀¹te^tdt．

用分部积分法，2∫₀²te^tdt=2∫₀¹tde^t=2[te^t｜₀¹-∫₀¹e^tdt]=2[e—e^t｜₀¹]=2(e—e+1)=2．

解析：

2.设z=y²f(xy，e^x)，其中函数f具有二阶连续偏导数，求

[*]

解析：

3.求函数u=xy²z²在点P(1，1，1)处的梯度和沿该梯度方向的方向导数．

易见函数u在整个R³中可微，因为gradu=(y²z²，2xyz²，2xy²z)，

所以gradu｜_(1，1，1)=(1，2，2)，

函数在点(1，1，1)沿梯度方向的方向导数为该点处梯度的模：

gradu｜_(1，1，1)｜=[*]

解析：

4.已知∫xf(x)dx=e^-2x+C，求∫

等式两边对x求导，得xf(x)=-2e^-2x则[*]

[*]

解析：

5.求由方程1-y+xe^y=0所确定的隐函数的导数．

方程两边对x求导，其中y为x的函数，得-y’+e^y+xe^y．y’=0，

于是[*]

解析：

6.求不定积分∫e^xsinxdx．

由分部积分法得

∫e^xsinxdx=e^xsinx-∫e^xcosxdx，对∫e^xcosxdx再次运用分部积分法得

∫e^xcosxdx=e^xcosx-∫e^xsinxdx，

将两式联立得

∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)-∫e^xsinxdx，

解得∫e^xsinxdx=[*]e^x(sinx-cosx)+C

解析：

7.求

如第51题图所示，区域D可表示为：{(x，y)｜1≤x≤2，[*]≤y≤x}．

[*]

解析：

8.求极限

[*]

解析：

9.已知函数的一f(x)个原函数为cosx+xsinx，求积分,

f(x)=(cosx+xsinx)^’=xcosx[*]

解析：本题考察的是原函数与分部积分法求不定积分．

10.求微分方程y-2xy=

方法一 对应的齐次线性微分方程y’-2xy=0的通解为y=[*]，设y=[*]为原微分方程的通解，代入原方程可得C’(x)[*]，即C’(x)=[*]，则C(x)=[*]+C，从而原微分方程的通解为y=[*]

方法二 原方程为一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)=-2x，Q(x)=[*]，则方程的通解为

[*]

解析：

11.求定积分

[*]

解析：本题考察的是分部积分法求定积分．

12.求由曲线y=x²与y=x+2所围成的平面图形的面积．

[*]

解析：

13.求极限

原式[*]

解析：

14.设函数,f具有二阶导数，求

[*]

解析：

15.利用格林公式计算曲线积分(一x₂y+2x+4)dx+(y₂x+5y一6)dy，其中L是由y=

解：[*]=y²，[*]=﹣x²，由格林公式可得，[*](—x^{2本文档预览：3500字符，共3614字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载}