普通高校专升本高等数学解答题专项强化真题试卷8
解答题
1.求不定积分
原式=[*]
= ln｜1+lnx｜+C
解析：
2.计算不定积分∫xarctanxdx．
[*]
解析：
3.求微分方程y’+ycosx=e-sinx满足初始条件y(0)=-1的特解．
P(x)=cosx，Q(x)=e-sinx
y=e∫-cosxdx[∫e-sinxe∫cosxdx+C]=e-sinx[∫e-sinxesinxdx+c]=e-sinx[x+C]
又y=(0)=-1，所以C=-1
特解为y=e-sinx(x+1)；
解析：
4.求曲线y=x2上一点P0，使该点处的切线与曲线y=x2、直线X=3及直线x=6所围图形面积最小，并求出最小面积．
设切点[*]得切线方程为[*]所围图形面积为[*]定义域为[*]求导，得：[*]经与区间端点比较，面积函数S在[*]处取得最小值．故P0点坐标为[*]时所求面积最小，最小面积是[*]
解析：
5.设y=
[*]
解析：
6.设
原式化为[*]由此可见，应确[*]
解析：
7.求极限
[*]
解析：再利用洛必达法则之前，往往要先观察，看能否利用等价无穷小替换，以达到简化计算的目的，本题共用到了两个等价无穷小替换：sinx～x与
8.设二元函数
求
[*][*]
解析：
9.已知函数的一f(x)个原函数为cosx+xsinx，求积分,
f(x)=(cosx+xsinx)’=xcosx[*]
解析：本题考察的是原函数与分部积分法求不定积分．
10.设由方程ey-xy2=e2所确定的函数为y=y(x)，求
方程ey-xy2=e2两侧同时对x求导，得y’ey-y2-2xyy’=0，所以y’=[*].把x=0代入方程ey-xy2=e2，得y=2，所以业[*]=4e-2
解析：
11.计算定积分
[*]
解析：
12.求由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，
在区间[*]上两曲线交点的横坐标为[*][*]
解析：
13.在曲线y=x2一x上求一点P，使点P到定点A(0，1)的距离最近．
设点P的坐标是(x，x2一x)，则
｜PA｜=[*]
令f(x)=x2+(x2一x一1)2，
由f′(x)=2(x一1)2(2x+1)=0，得
驻点x=1，x=[*]．
划分定义域并列表如下：
[*]
由表可知，函数f(x)在x=－[*]处取极小值，且极小值为f([*])结合f(x)的单调性可知此极小值且为最小值[*]，故点P的坐标为([*])，且最近距离为[*]．所以点P([*])即为所求的点．
解析：
14.设函数y=y(x)由方程exy=x+y所确定，求
exy=x+y，两边同时对x本导．
exy(y+xy’)=1+y’，
yexy+xexyy’=1+y’，
[*]
解析：
15.求不定积分
[*]
解析：
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