江苏省专转本（高等数学）模拟试卷72

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷72

综合题

1.试求由抛物线(y-2)²=x－1和与抛物线相切于纵坐标y₀=3处的切线以及x轴所围成图形面积．

抛物线(y－2)²=x-1，顶点在(1，2)，开口向右，切点纵坐标为3，则x坐标为2，则切线斜率为[*]而[*]所以[*]切线方程y－3=[*](x－2)，改写成x=2y－4.

[*]

解析：

2.从半径为R的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?

设余下部分的圆心角为φ时所卷成的斗容积V最大，斗的底半径为r，高为h.

则2πr=Rφ，[*]

[*]

即当余下的圆心角为[*]时斗容积最大.

解析：

3.某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是其中x为正数，每生产一件产品可赢利A元，但生产一件次品要损失

设日生产量为x件，日利润为u元，则日次品数为xy件，日正品数为(x－xy)件.

因为当x≥50时次品率为1，为获最大利润故必0≤x＜50.

于是日利润为[*]

[*]

令u’=0，得[*]

将[*]代入，解得[*]

即x≈42.8或x≈59.25，舍去x≈59.25.

比较u(0)=0，u(42)=166.4，u(43)=189.9的值，故日生产量为43件时，获得最大盈利.

解析：

证明题

4.设f(x)在[a，b]上连续(a＜b)，且f(x)＞0．证明：

①令[*]

根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导.

[*]

②又[*]于是F(x)在[a，b]内单调递增，F(x)[a,b]内与x轴只有一个交点，即方程F(x)在(a，b)内只有一个实根.故由①、②知，方程[*]在(a，b)内有且仅有一个实根.

解析：

选择题

5.已知则(C)

A. 2e^－2x+C

B. C. －2e^－2x+C

D. 解析：原式两边分别求导得，f(x)=2e^2x，再两边求导，得f’(x)=4e^2x，则f’(－x)=4e^-2x．

6.在下列极限求解中，正确的是( )．

(D)

A.

B.

C.

D.

解析：

而sin(x²+1)有界，所以

7.下列级数中条件收敛的是( )．

(C)

A.

B.

C.

D.

解析：而收敛，所以绝对收敛．

因为收敛．

∑|a_n|收敛.故绝对收敛．

为交错级数，且其通项的绝对值趋于0，据莱布尼兹准则知，它是收敛级数．

另外由于而调和级数发散，据第一比较准则知∑|a_n|发散，故此级数条件收敛．

8.曲线y=x³－3x在开区间(0，1)内为( )．(D)

A.

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