江苏省专转本(高等数学)模拟试卷72
综合题
1.试求由抛物线(y-2)2=x-1和与抛物线相切于纵坐标y0=3处的切线以及x轴所围成图形面积.
抛物线(y-2)2=x-1,顶点在(1,2),开口向右,切点纵坐标为3,则x坐标为2,则切线斜率为[*]而[*]所以[*]切线方程y-3=[*](x-2),改写成x=2y-4.
[*]
解析:
2.从半径为R的圆中切去怎样的扇形,才能使余下部分可卷成一漏斗,其容积为最大?
设余下部分的圆心角为φ时所卷成的斗容积V最大,斗的底半径为r,高为h.
则2πr=Rφ,[*]
[*]
即当余下的圆心角为[*]时斗容积最大.
解析:
3.某工厂生产过程中,次品率与日生产量关系是其中x为正数,每生产一件产品可赢利A元,但生产一件次品要损失
设日生产量为x件,日利润为u元,则日次品数为xy件,日正品数为(x-xy)件.
因为当x≥50时次品率为1,为获最大利润故必0≤x<50.
于是日利润为[*]
[*]
令u’=0,得[*]
将[*]代入,解得[*]
即x≈42.8或x≈59.25,舍去x≈59.25.
比较u(0)=0,u(42)=166.4,u(43)=189.9的值,故日生产量为43件时,获得最大盈利.
解析:
证明题
4.设f(x)在[a,b]上连续(a<b),且f(x)>0.证明:
①令[*]
根据积分上限函数的性质知,F(x)在[a,b]上连续且可导.
[*]
②又[*]于是F(x)在[a,b]内单调递增,F(x)[a,b]内与x轴只有一个交点,即方程F(x)在(a,b)内只有一个实根.故由①、②知,方程[*]在(a,b)内有且仅有一个实根.
解析:
选择题
5.已知则
(C)
A. 2e-2x+C
B. C. -2e-2x+C
D. 解析:原式两边分别求导得,f(x)=2e2x,再两边求导,得f’(x)=4e2x,则f’(-x)=4e-2x.
6.在下列极限求解中,正确的是( ).
(D)
A.
B.
C.
D.
解析:
而sin(x2+1)有界,所以
7.下列级数中条件收敛的是( ).
(C)
A.
B.
C.
D.
解析:而
收敛,所以
绝对收敛.
因为收敛.
∑|an|收敛.故绝对收敛.
为交错级数,且其通项的绝对值
趋于0,据莱布尼兹准则知,它是收敛级数.
另外由于
而调和级数
发散,据第一比较准则知∑|an|发散,故此级数条件收敛.
8.曲线y=x3-3x在开区间(0,1)内为( ).(D)
A.
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