2021年江苏省专转本（高等数学）真题试卷

2021年江苏省专转本（高等数学）真题试卷

综合题

设D是由曲线y=1-ax²，y=

1.求D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积V(a)

[*]交点A[*]

V(a)=V₁y+V₂y=π[*]aydy+π[*](1-y)dy

[*]

解析：

2.问a为何值时，V(a)取最大值?并求此时D的面积

V′(a)=[*]

V′(a)=0→(1+a)(1-a)=0(a>0)≥a=1(唯一)

因为V(a)最大值客观存在，且驻点唯一，所以当a=1时，取最大值

此时S_D

[*]

解析：

设可导函数f(x)满足方程f(x)+

3.函数f(x)的解析式

方程两边对x求导得f′(x)+xf(x)=0

令x=0代入题设方程得：f(0)=1，即y′=-xy，y(0)=1

∴[*]xdx，∴lny=-[*]x²+lnc

y(0)=1≥lnc=0→lny=-[*]x²→y=f(x)=[*]

解析：

4.曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点

y=[*]，定义域D=(-∞，+∞)

y′=-x[*]，y″=-[*]+x²[*]=[*](x²-1)

y″=0→x₁=-1，x₂=1

[*]

由上讨论可得：曲线y=[*]的凹区间为(-∞，-1)，(1，+∞)；凸区间为(-1，1)，

拐点坐标为(-1，[*])，(1，[*])

解析：

5.曲线y=f(x)的渐近线

∵[*]=0

∴y=0为曲线的水平渐近线，无垂直渐近线

解析：

证明题

6.证明：当x＞0时，2-≤lnx≤

当x＞0时，证明：lnx≥2-[*]和lnx≤[*]

1°令f(x)：lnx+[*]-2，x∈(0，+∞)

∴f′(x)=[*]

令f’(x)=0，则x=e(唯一)，f″(x)=-[*]

∵f″(e)=-[*]＞0，∴f(e)=0为极小值

由单峰原理知，f(e)=0也是f(x)在(0，+∞)内的最小值

2°再令g(x)=lnx-[*]，x∈(0，+∞)，∴g′(x)=[*]

令g′(x)=0→x=e(唯一)，g″(x)=-[*]

∴g″(e)=-[*]≤0，∴g(e)=0为极小值

由单峰原理知，g(e)=0也是g(x)在(0，+∞)内的最大值

∴当x＞0时，g(x)≤0→lnz-[*]≤0→lnx≤[*]

综合1°，2°得，当x＞0时2-[*]≤lnx≤[*]

解析：

选择题

7.将x→0时的无穷小α(x)=1-cosx²，β(x)=e^x2-1，γ(x)=x tan²x排列起来，使排在后面的一个是前面一个的高阶无穷小，则正确的排序是( )(B)

A. α(x)，γ(x)，β(x)

B. β(x)，γ(x)，α(x)

C. β(x)，α(x)，γ(x)

D. γ(x)，β(x)，α(x)

解析：无穷小的比较

当x→0时，a(x)=1-cosx²～

8.若函数f(x)=(C)

A. (-∞，0)

B. (0，+∞)

C. (0，1)

D. (1，+∞)

解析：根据分段函数在某点处连续性求参数的取值范围

由f(x)在(-∞，+∞)内连续，f(x)在x=0处连续，

故f(x)= 1 f(x)=f(0)=0

由=0，可知a＞0

由

9.若函数f(x)在点z=1处连续，且=2，则(A)

A. -4

B. -1

C. 1

D. 4

解析：连续与导数的定义

由=2，且(x-1)=0可知，f(x)=0，又f(x)在x=1处连续

所以f(1)=本文档预览：3500字符，共13662字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载