2021年广东省专升本（高等数学）真题试卷

2021年广东省专升本（高等数学）真题试卷

综合题

1.做一个容积为64π立方米的圆柱形无盖容器，底面和侧面材质相同且厚度不计，问：底面半径为何值时，才能使所用材料最省?

设该容器的底面半径为r米，高为h米，由题意得πr²h=64π，所以h=64/r²，此时无盖容器的表面积

S=πr²+2πr·h=πr²+[*]，r＞0，

所以S′=2πr-[*]

令S′=0，得r=4．因为S″(4)=6π＞0，故r=4为极小值点，且为唯一驻点．

故当底面半径为4米时，表面积S有最小值，且此时所用材料最省．

解析：

过坐标原点作曲线y=lnx的切线L，该切线与直线x=1及y=lnx围成平面图形D，

2.求切线L的方程；

设切点为(x₀，lnx₀)，则切线斜率为(lnx)′[*]

所以切线方程为y-lnx₀=[*](x-x₀)

把点(0，0)代入上式，得-lnx₀=[*]·(-x₀)，所以x₀=e．

所以切点为(e，1)，切线L的方程为y=[*]

解析：

3.求平面图形D的面积．

S_D=∫₁^e[*]=∫₁^e[*]xdx-∫₁^elnxdx

=[*]x²｜₁^e-(xlnx-x)｜₁^e=[*]

解析：

选择题

4.(C)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析：

5.点x=3是f(x)=(B)

A. 连续点

B. 可去间断点

C. 无穷间断点

D. 跳跃间断点

解析：f(x)=在x=3处无定义，且

6.设F(x)是f(x)的一个原函数，C为任意常数，则下列正确的是 ( )(D)

A. ∫F(x)da-=f(x)

B. F′(x)=f(x)+C

C. f′(x)=F(x)+C

D. ∫f(x)dx=F(x)+C

解析：根据原函数及不定积分的定义可选D．

7.设常数项级数u_n收敛，则下列收敛的是 ( )

(C)

A.

B.

C.

D.

解析：

8.设f(x)=(B)

A. f(x)是比g(x)低阶的无穷小

B. f(x)是比g(x)高阶的无穷小

C. f(x)与g(x)是等价无穷小

D. f(x)与g(x)是同阶非等价无穷小

解析：

填空题

9.

1/3

解析：，则曲线在t=1对应点处的切线斜率为

10.z=x²y的全微分dz=________．

2xydx+x²dy

解析：由z=x²y可得

11.微分方程

e^x-2

解析：方程分离变量得=dx，两边积分得

12.已知D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤3-x}，则

5/2

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