专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷7

专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷7

解答题

1.计算∫(x＋e^－x)dx．

∫(x＋e^－x)dx＝x²／2－∫e^－xd(－x)＝x²／2－e^－x＋C．

解析：

2.计算∫e^x／(e^x－1)dx

[*]

＝ln(1＋e^x)＋C．

解析：

3.计算∫sin5xdx．

∫sin5xdx＝∫sin5xd(5x)／5＝－cos5x／3＋C．

解析：

4.计算∫x(1＋x²)²dx．

∫x(1＋x²)²dx＝(1／2)∫(1＋x²)²d(1＋x²)

＝(1／6)(1＋x²)＋C．

解析：

5.计算∫(1＋lnx)／xdx

[*]

解析：

6.已知sinx是f(x)的一个原函数，求∫xf’(x)dx．

由于sinx是f(x)的一个原函数，因此有

f(x)＝(sinx)’＝cosx．

由分部积分公式有

∫xf’(x)dx＝xf(x)－∫f(x)dx

＝Xcosx－sinx＋C．

解析：

7.

[*]

解析：

8.计算

解法1

令t＝[*]，则x＝t²，dx＝2tdt．当x＝1时，t＝1；当x＝4时，t＝2．

于是[*]

解法2

[*]

解析：

9.计算∫₁^exlnxdx．

∫₁^exlnxdx＝(1／2)x²lnx｜₁^e－∫₁^e(1／2)x²(1／x)dx＝e²／2－x²／4｜₁^e＝(e²＋1)／4．

解析：

10.计算

令t＝[*]，则x＝t²，dx＝2tdt．当x＝0时，t＝0；当x＝1时，t＝1．

[*]

＝2(te^t｜₀¹－∫₀¹e^tdt)＝2(e－e²｜₀¹)＝2．

解析：

11.求由曲线y＝x²(x≥0)，直线y＝1及y轴围成的平面图形的面积．

y＝x²(x≥0)，y＝1及y轴围成的平面图形D如图所示，其面积为

S＝∫₀¹(1－x²)dx

＝(x－x³／3)｜₀¹

＝2／3．

解析：

设曲线x＝，y＝2及x＝0所围成的平面图形为D．

12.求平面图形D的面积S．

平面图形D如图所示．

解法l

由[*]解得x＝[*]．

于是S＝[*]

解法2

S＝[*]

解析：

13.求平面图形D绕Y轴旋转一周生成的旋转体体积V．

V＝π∫₀²x²dy＝π∫₀²ydy＝π．y²／2｜₀²＝2π．

解析：

由曲线y＝x²，直线y＝a，x＝0及x＝1所围成的图形如图中阴影部分所示，其中0≤a≤1．

14.求图中阴影部分的面积4．

由[*]

解得x＝[*]

[*]

解析：

15.问a为何值时，A的取值最小，并求出此最小值．

A’(a)＝2a^1／2－1，令A’(a)＝0，得唯一驻点a＝1／4．A\\

解析：

选择题

16.)设函数f(x)＝sinx，则不定积分∫f’(x)dx等于( )．(A)

A. sinx＋C

B. cosx＋C

C. －sinx＋C

D. －cosx＋C

解析：由不定积分性质∫f’(x)dx＝f(x)＋C，可知应选A．

17.下列函数中为f(x)＝e^2x的原函数的是( )．(B)

A. e^x

B. e^2x／2

C. e^2x

D. 2e^2x

解析：由不定积分概念可知，若f(x)的原函数为F(x)，则∫f(x)dx＝F(x)＋C，又∫f(x)dx＝∫e^2xdx＝(1／2)∫e^2xd2x＝e^2x／2＋C，可知e^2x／2为e^2x的一个原函数，因此选B．

18.∫e^－2xdx等于( )．(D)

A. 2e^－2x＋C

B. e^－2x／2＋C

C. －2e^－2x＋C

D. －e^－2x／2＋C

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