专升本高等数学一（空间解析几何、多元函数微积分学）模拟试卷2

专升本高等数学一（空间解析几何、多元函数微积分学）模拟试卷2

解答题

1.设z＝xy²＋e^ycosx，求

求[*]只需将x认作常数，因此[*]＝2e^ycosx

解析：

2.设z＝z(x，y)是由方程X²＋y²＋z²＝e^y所确定的隐函数，求dz．

利用隐函数求偏导数公式，记

F(x，y，z)＝x²＋y²＋z²－e^z，则

F’_x＝2x，F’_y＝2y，F’_z＝2x－e^z

[*]

解析：

3.设z＝z(x，y)是由方程x＋y＋z＝e^z所确定的隐函数，求dz．

利用隐函数求偏导数公式，记

F(x，y，z)＝x＋y＋z－e^z，

则F’_x＝1，F’_y＝1，F’_z＝1－e^z

[*]

解析：

4.设二元函数z＝x²＋xy＋y²＋x－y－，求z的极值．

[*]＝2x＋y＋1，[*]＝x＋2y－1．

由[*]解得[*]

[*]

B²－AC＝－3＜0，A＞0，

因此点(－1，1)为z的极小值点，极小值为－6．

解析：

5.计算xydxdy，其中区域如图所示，由y＝x，y＝1与y轴围成．

将所给积分化为二次积分．

解法1

[*]xydxdy

＝∫₀¹dx∫_x¹xydy＝∫₀¹(xy²／2)｜_x¹dx

＝∫₀¹(x／2－x³／2)dx＝(x²／4－x³／8)｜₀¹＝1／8．

解法2

[*]xydxdy＝∫₀¹dy∫₀^xxydy

＝∫₀¹(yx²／2)｜₀^ydy＝∫₀¹y³／2dy＝y⁴／8｜₀¹＝1／8．

解析：

6.求

由于积分区域D关于y轴对称，因此

[*]x³dxdy＝0．

记D₁为区域D在第一象限的部分，则

[*]ydxdy＝2[*]ydxdy

[*]

所以[*](x³＋y)dxdy＝4／5．

解析：

7.计算二重积分I＝

所给积分区域D如图所示，如果选择先对y积分后对x积分的二次积分，需要将积分区域划分为几个子区域，如果选择先对x积分后对Y积分的二次积分，区域D可以表示为0≤y≤1，y≤x≤y＋1，因此，I＝∫₀¹dy∫_y^y＋1ydx＝∫₀¹yx｜_y^y＋1dy＝∫₀¹ydy＝y²／2｜₀¹＝1／2．

[*]

解析：

8.计算

积分区域D的图形如图所示．

由被积函数及积分区域D可知，可以将二重积分化为任意次序的二次积分．若化为先对y积分，后对x积分的二次积分，D可以表示为0≤x≤1，0≤y≤x²，[*]x²ydxdy＝∫₀¹dx∫₀²x²ydy

[*]

解析：

9.计算

积分区域D为半圆域，利用极坐标较方便，在极坐标系下，x²＋y²＝2y可以化为r＝2sinθ积分区域D可以表示为0≤θ≤π／2，0≤r≤2sinθ，因此

[*]

解析：

选择题

10.设球面方程为(x－1)²＋(y＋2)²＋(z－3)²＝4，则该球的球心坐标与半径分别为( )．(C)

A. (－1，2，－3)；2

B. (－1，2，－3)；4

C. (1，－2，3)；2

D. (1，－2，3)；4

解析：对照球面方程的基本形式可知

(x－1)²＋(y＋2)²＋(z－3)²＝4＝2²．

因此球心坐标为(1，－2，3)，半径为2，故选C．

11.方程x＋y－z＝0表示的图形为( )．(B)

A. 旋转抛物面

B. 平面

C. 锥面

D. 椭球面

解析：所给方程为一次方程，表示平面，因此选B．

12.方程x²＋y²－z²＝0表示的二次曲面是( )．(C)

A. 球面

B. 旋转抛物面

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