专升本高等数学一（空间解析几何、多元函数微积分学）模拟试卷1

专升本高等数学一（空间解析几何、多元函数微积分学）模拟试卷1

解答题

1.设z＝z(x，y)是由方程x＋y³＋z＋e^2x＝1确定的函数，求dz．

用隐函数求偏导数公式，记

F(x，y，z)＝x＋y³＋z＋e^2x－1，

则

F’_x＝1，F’_y＝3y²，F’_z＝1＋e^2z

[*]

解析：

2.设z＝z(x，y)是由方程x²＋y²－e^z＝0所确定的隐函数，求

利用隐函数求偏导数公式，记

F(x，y，z)＝x²＋y²－e^z，

则

F’_x＝2x，F’_y＝－e^z，

[*]

解析：

3.求二元函数f(x，y)＝x²＋y²＋xy在条件x＋2yy＝4下的极值．

解法1

构造拉格朗日函数

L(x，y，λ)＝x²＋y²＋xy＋λ(x＋2y－4)，[*]

解得x＝0，y＝2．

可能极值点唯一，为(0，2)．相应的f(0，2)＝4．

解法2

由条件x＋2y＝4，可解得y＝(4－x)／2，代入f(x，y)可化为

[*]＝x²＋÷(4－x)²／4＋x(4一x)／2．

即[*]＝3x²／4＋4，

[*]＝3x／2

令[*]＝0，得f的唯一驻点x＝0．

[*]，

可知x＝0为[*]极小值点，当x＝0时，由x＋2y＝4，可解得y＝2．因此点(0，2)为f(x，y)＝x²＋y²＋xy在条件x＋2y＝4的极小值点，极小值为4．

解析：

4.计算

[*]x²ydxdy＝∫₀¹dx∫₀¹x²ydy＝(1／2)∫₀¹x⁴dx＝(1／10)x⁵｜₀¹＝1／10．

解析：

5.计算

积分区域D的图形如图所示．

[*]xy²dxdy ＝∫₀¹dx∫₀^xxy²dy

＝(1／3)∫₀¹x²dx

＝(1／15)x⁵｜₀¹＝1／15

[*]

解析：

6.计算(1＋x²)dxdy，其中D是由y＝

积分区域D如图所示．

若选择先对y积分后对x积分，区域D可以表示为0≤x≤1，0≤y≤[*]．

因此[*]

解析：

7.设D＝{(x，y)1 0≤x≤1，0≤y≤1}，求

由被积函数与积分区域可知可以选择先对Y积分，也可以选择先对x积分．

[*]x²ydxdy＝∫₀¹dx∫₀¹x²ydy

＝(1／2)∫₀¹x²dx

＝(1／6)x³｜₀¹＝1／6．

解析：

8.求

积分区域D为半圆环域，利用极坐标计算此二重积分较方便．在极坐标系下，x²＋y²＝1可以化为r＝1；x²＋y²＝4可以化为r＝2．因此区域D可以表示为0≤θ≤π，1≤r≤2，

因此[*](x²＋y²)dxdy＝∫₀^πdθ∫₁²r²rdr

＝∫₀^πr⁴／1｜₁²dθ＝15／4∫₀^πdθ＝15π／4．

解析：

9.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x²＋y²≤4，x≥10，y≥0，其面密度μ(x，y)＝x²＋y²，求该薄板的质量m．

由二重积分物理意义知m＝[*]μ(x，y)dσ＝[*](x²＋y²)dxdy＝∫₀^π／2dθ∫₁²r³dr＝15π ／8．

解析：

选择题

10.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为( )．(A)

A. x＋y＋z＝1

B. 2x＋y＋z＝1

C. x＋2y＋z＝1

D. x＋y＋2z＝1

解析：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0．由于点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，将它们的坐标分别代入所设平面方程，可得方程组本文档预览：3500字符，共9773字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载