专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷5

专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷5

解答题

1.设y＝xsinx，求y’．

y’＝x’sinx＋x(sinx)’＝sinx＋xcosx

解析：

2.设y＝xe^x，求y”．

y＝xe^x，则y’＝xe^x＋e^x＝(x＋1)e^x，y”＝e^x＋(x＋1)e^x(x＋2)e^x

解析：

3.设y＝y(x)满足2y＋sin(x＋y)＝0，求y’．

将2y＋sin(x＋y)＝0两边对省求导，得

2y’＋cos(x＋y)．(1＋y’)＝0．

解得y’＝[*]．

解析：

4.设y＝x³／cosx，求dy．

由商的导数运算法则可得

[*]

因此[*]

解析：

5.求

所给极限为“0／0”型，由洛必达法则可得

[*]

解析：

6.求

所给极限为“0／0”型，由洛必达法则可得

[*]

解析：

7.求

所给极限为“0／0”型．利用洛必达法则，有

[*]

解析：

8.求函数y＝x－lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

y＝x－lnx的定义域为(0，＋∞)，y’＝1－1／x．

当x＝1时，y’＝0；当x＞1时，y’＞0，函数y＝x－lnx单调增加．

当0＜x＜1时，y’＜0，函数y＝x－lnx单调减少．

曲线y＝x－lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝0．

解析：

9.求函数f(x)＝x³－3x＋5的极大值与极小值．

f’(x)＝3x²－3．

令f’(x)＝0，解得

x₁＝－1，x₂＝1．

又f”(x)＝6x，可知f”(－1)＝－6＜0，f”(1)＝6＞0．

故x＝－1为f(x)的极大值点，极大值f(－1)＝7；

x＝1为f(x)的极小值点，极小值f(1)＝3．

解析：

10.求函数f(x)＝x³－3x＋1的单调区间和极值．

函数的定义域为(－∞，＋∞)，f’(x)＝3x²－3．

令f’(x)＝0，得驻点x₁＝－1，x₂＝1，列表得

[*]

函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．

函数f(x)的单调减区间为[－1，1]．

f(－1)＝3为极大值，f(1)＝－1为极小值．

注意 如果将(－∞，－1]写成(－∞，－1)，将[1，＋∞)写成(1，＋∞)，将[－1，1]写成(－1，1)也对．

解析：

设抛物线y＝1－x²与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．

11.写出S(x)的表达式；

由[*]

解得x＝±1，则A、B两点坐标分别为

A(－1，0)和B(1，0)，AB＝2．

S(x)＝(2＋2x)(1－x²)／2＝(1＋x)(1－x²)．

解析：

12.求S(x)的最大值．

S’(x)＝－3x²－2x＋1，令S’(x)＝0，即(3x－1)(x＋1)＝0，得x₁＝1／3，x₂＝－1(舍去)．

S”(x)｜_x＝1／3＝(－6x－2)｜_x＝1／3＝－4＜0，则S(1／3)＝32／27为极大值．根据实际问题，S＝32／27为最大值．

解析：

13.求函数f(x)＝x²－2／x的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

f’(x)＝2x＋2／x²，f’(x)＝2－4／x³．

令f’(x)＝0得x＝－1；令f”(x)＝0，得x＝[*]．

列表：

[*]

函数f(x)的单调减少区间为(－∞，－1)；单调增加区间为(－1，0)∪(0，＋∞)；极小值为f(－1)＝3．

曲线y＝－f(x)的凹区间为(－∞，0)∪([*]，＋∞)；凸区间为(0，[*])；拐点为([*]，0)．

解析：

选择题

14.设函数f(x)可导，且(C)

A. 2

B. 1

C. 1／2

D. 0

解析：由于f(x)可导，由导数定义可得

15.设y＝3＋x²，则y’＝( )．(A)

A. 2x

B. 3＋2x

C. 3

D. x²

解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有

y’＝(3＋x²)’＝3’＋(x²)’＝2x．

故选A．

16.设y＝3＋sinx，则y’＝( )．(B)

A. －cosx

B. cosx

C. 1－cosx

D. 1＋cosx

解析：由导数四则运算法则，有

y’＝(3＋sinx)’＝3’＋(sinx)’＝cosx，

故选B．

17.设f(x)＝sin2x，则f’(0)等于( )．(D)

A. －2

B. －1

C. 0

D. 2

解析：由复合函数链式法则可知f’(x)＝(sin2

本文档预览：3500字符，共7462字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载