专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷3

专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷3

解答题

1.求y’－y／x＝x²的通解．

所给方程为一阶线性微分方程，由通解公式可知

[*]

为所求通解．

解析：

2.求一阶线性微分方程y’－y／x＝x满足初始条件y｜x＝1＝0的特解．

由一阶线性微分方程通解公式有

[*]

将y｜_x＝1＝0代入上式，可得C＝－1，因此所求特解为y＝x²－x．

解析：

设函数y＝f(x)由微分方程

3.求函数y＝f(x)的表达式；

所给方程为一阶线性微分方程，化为标准形式y’＋y／x＝2，

[*]

由初始条件y｜_x＝1＝0可得知C＝－1，因此所求方程的解为y＝x－1／x．

解析：

4.讨论函数y＝f(x)在(0，＋∞)内的单调性．

y＝x－1／x，y’＝1＋1／x²＞0，可知y＝f(x)＝x－1／x在(0，＋∞)内单调递增．

解析：

y＝f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率为y／x＋x²，且该曲线经过点(1，1／2)．

5.求曲线y＝f(x)；

由题意可知dy／dx＝y／x＋x²，即dy／dx－y／x＝x²，[*]

由y｜_x＝1＝1／2可知C＝0，从而y＝x³／2．

解析：

6.求由曲线y＝f(x)，y＝0，x＝1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积．

V＝∫₀¹πf²(x)dx＝(π／4)∫₀¹x⁶dx＝π／28

解析：

7.求微分方程y”＋3y’＋2y＝0的通解．

特征方程为r²＋3r＋2＝0，特征根 r₁＝－2，r₂＝－1，方程的通解为 y＝Cle^－2x＋C₂e^－x．

解析：

8.求微分方程y\\

特征方程为r²＋r＝0，

特征根r₁＝0，r₂＝－1，

方程的通解为y＝C₁十C₂e^－x．

解析：

9.求微分方程y”＋3y’＝3x的通解．

所给问题为二阶线性常系数非齐次方程求解．相应的齐次方程的特征方程为r²＋3r＝0．特征根为r₁＝0，r₂＝－3．对应齐次方程的通解为y＝C₁＋C₂e^－3x，自由项f(x)＝3x，α＝0且为特征根．设原方程的特解y^*＝x(ax＋b)，则y^*’＝2ax＋b，y^*\\

解析：

10.求微分方程y”＋3y’＋2y＝e^x的通解．

y\\

解析：

11.求微分方程y\\

原方程对应的齐次方程为y”＋3y’＋2y＝0，

特征方程为r²＋3r＋2＝0，

特征根为r₁＝－2，r₂＝－1．

齐次方程的通解Y＝C₁ee^－2x＋C₂e^－x．

由于f(x)＝6e^x，α＝1不为特征根，设原方程的特解y^*＝Ae^*，代入原方程有

6A＝6，A＝1；y^*＝e^x．

原方程的通解为y＝C₁e^－2x＋C₂e^－x＋e^x．

解析：

12.求微分方程y”＋4y’＝2e^x的通解．

相应齐次微分方程的特征方程为r²＋4r＝0．特征根为r₁＝0，r₂＝－4．

齐次方程的通解为y＝C₁＋C₂e^－x．

自由项f(x)＝2e^x，α＝1不为特征根，设原方程的特解y^*＝Ae^x，代入原方程可得

Ae^x＋4Ae^x＝2e^x．

解得A＝2／5，因此y^*＝2e^x／5．原方程的通解为y＝C₁＋C₂e^－x＋2e^x／5．

解析：

13.求微分方程y\\

原方程对应的齐次微分方程为y”－2y’－3y＝0，

其特征方程为λ²－2λ－3＝0．

特征根为λ₁＝1，λ₂＝3．

齐次方程的通解为Y＝C₁e^－x＋C₂e^3x．

设原方程的特解为y^*＝A，代入原方程可得

y^*＝－1．

所以原方程的通解为y＝Y＋y^*＝C₁e^－x＋C₂e^3x－1(C₁，C₂为任意常数)．

解析：

14.求微分方程y－2y’＋y＝e^－x的通解．

对应齐次微分方程的特征方程为r²－2r＋1＝0．特征根为r＝1(二重根)．

齐次方程的通解为Y＝(C₁＋C₂x)e^x(C₁，C₂为任意常数)．

设原方程的特解为y^*＝Ae^－x，代人原方程可得A＝1／4．

因此y^*＝e^－x／4．

故原方程的通解为y＝Y＋y^*＝(C₁＋C₂x)e

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