专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷4
解答题
1.设y＝x－1／x，求dy．
y＝x－1／x，则
y’＝x’－(1／x)’＝1＋1／x2，
dy＝y’dx＝(1＋1／x2)dx．
解析：
2.设y＝lnsin x，求y’．
y＝lnsinx，则y’＝1／sinx．(sinx)’＝cosx／sinx．
解析：
3.设
(t为参数)，求
[*]
解析：
4.求
所给极限为“0／0”型，由洛必达法则可得
[*]
解析：
5.计算
[*]
解析：
6.求极限
所给极限为“0／0”型．利用洛必达法则，有
[*]
解析：
7.求曲线y＝1／x2＋2在点(1，3)处的切线方程．
曲线方程为y＝1／x2＋2，点(1，3)在曲线上．
[*]
因此所求曲线方程为y－3＝－2(x－1)，或写为2x＋y－5＝0．
如果f’(x0)≠0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的法线方程为y－f(x0)＝－1／f’(x0)(x－x0)
如果f’(x0)＝0，则y＝f(x0)为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的水平切线．
解析：
8.设曲线方程为y＝ex＋x，求y’｜x＝0以及该曲线在点(0，1)处的法线方程．
y’＝ex＋1，y’｜x＝0＝2．
曲线在点(0，1)处的法线方程为y－1＝－(x－0)／2，即x＋2y－2＝0．
解析：
9.求f(x)＝x3－3x的极大值与极小值．
f’(x)＝3x2－3，由f’(x)＝3x2－3＝0得驻点x1＝－1，x1＝1；又f”(x)＝6x，则f”(－1)＝－6＜0，f”(1)＝6＞0，故f(－1)＝2为极大值f(1)＝－2为极小值．
解析：
10.求函数f(x)＝(x2－1)3＋3的单调区间和极值．
函数的定义域为(－∞，＋∞)，f’(x)＝6x(x2－1)2．
令f’(x)＝0，得x1＝0，x2＝－1，x3＝1，列表得
[*]
函数f(x)的单调减区间为(－∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，＋∞)；f(x)＝2为极小值．
解析：
11.证明：当x＞1时，x＞1＋lnx．
设f(x)＝x－1－lnx，则f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f’(x)＝1－1／x，令y’＝0得x＝1．
当x＞1时，f’(x)＝1－1／x>0．可知f(x)单调增加．
由于f(1)＝0，可知当x＞1时，f(x)＞f(1)＝0，从而x－1－lnx＞0，即X＞1＋lnx．
F(x)＝f(x)－g(x)．
若F(x0)≥0，且F(x)可导，当x＞x0时，F’(x)＞0，则表明此时，F(x)为单调增加函数．因此F(x)≥F(X0)≥0，即有f(x)≥g(x)．
解析：
选择题
12.设f’(x0)＝1，则
(A)
A. 2
B. 1
C. 1／2
D. 0
解析：由于f(x)在x＝x0处可导，由导数定义可知
13.已知f(x)在x＝1处可导，且f’(1)＝3，则
(C)
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
解析：所给问题为导数定义的问题，由导数定义可知
14.设y＝x2－e2，则y’等于( )．(D)
A. 2x－2e
B. 2x－e2
C. 2x－e
D. 2x
解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有
y’＝(x2)’－(e2)’＝2x．
故选D．
15.设y＝－2ex，则y’＝( )．(D)
A. ex
B. 2ex
C. －ex
D. －2ex
解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有
y’＝(－2ex)’＝－2(ex)’＝－2ex，故选D．
16.设y＝1＋sin(x／3)，则)y’(0)等于( )．(B)
A. 1
B. 1／3
C. 0
D. －1／3
解析：由复合函数链式法则及四则运算法则，有
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