2021年山东专升本（高等数学Ⅰ）真题试卷
综合题
1.求由直线x=0，x=2，y=0与曲线y=ex所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积。
所得图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：
V=π∫02e2xdx=[*]πe2x丨02=[*]π(e4-1)
解析：
2.设k＞0，求函数f(x)=ln(1+x)+kx2-x的极值点，并判断是极大值点还是极小值点。
函数f(x)的定义域为(﹣1，+∞)，
求导得f′(x)=[*]
令f′(x)=0，得：x1=0，x2=﹣1+[*]．
(1)当0＜k＜[*]时，x2＞x1．
[*]
f(x)在x1=0处取极大值，在x2=﹣1+[*]处取极小值。
(2)当k=[*]时，f′(x)=[*]≥0．函数在定义域内单调递增，不存在极值点。
(3)当k＞[*]时，﹣1＜x2＜x1
[*]
f(x)在x2=﹣1+[*]处取极大值，在x1=0处取极小值。
解析：
证明题
3.设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(0)≠0，0<f(1)<1。
证明：存在x0∈(0,1)，使得f2(x0)=x0。
令F(x)=f2(x)-x．
则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=f2(0)-0=f2(0)＞0，F(1)=f2(1)﹣1＜0
由零点定理知，存在x0∈(0，1)，使得F(x0)=0，即f2(x0)-x0=0
所以，f2(x0)=x0
解析：
4.设函数f(x)在[0，1]上连续，且在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．
证明：(1)存在ξ1∈(0，1)，使得f′(ξ1)=2ξ1；
(2)存在ξ2∈
，ξ3∈
令F(x)=f(x)-x2
(1)由已知，F(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且F′(x)=f′(x)-2x
又因为F(0)=0 F(1)=0，由罗尔中值定理知，存在ξ1∈(0，1)，使得F′(ξ1)=0
即f′(ξ1)=2ξ1。
(2)由拉格朗日中值定理可知：
存在ξ2∈[*]，使得[*]F′(ξ2)
即f′(ξ2)=2ξ2+[*] ①
存在ξ3∈[*]，使得F(1)-[*]F′(ξ3)
即f′(ξ3)=2ξ3﹣[*] ②
由①、②式相加得
f′(ξ2)+f′(ξ3)=2(ξ2+ξ3)．
解析：
选择题
5.已知函数
(A)
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 无穷间断点
D. 连续点
解析：本题考查函数在一点的连续和间断。由于x-2出现在分母中，所以x=2是函数的间断点，选项D直接排除；由
6.已知
(D)
A. 左、右导数都存在且相等
B. 左导数存在，右导数不存在
C. 左导数不存在，右导数存在
D. 左、右导数都存在但不相等
解析：本题考查分段函数在交界点处的可导性。因为分段函数f(x)在x＜0和x＞0时表达式不一样，所以要考虑左右导数，即，由
知f(x)在x=0处的左导数存在；由
7.以下是二阶微分方程的是(B)
A. (y′)2-3y=0
B. (y″)2+x2y′=0
C. yy′+x2=0
D. y′″+x2y″=0
解析：本题考查微分方程的阶。直接根据选项中微分方程中未知函数最高阶导数的阶加以判断可得答案选B。
8.以下级数条件收敛的是
(B)
A.
B.
C.
D.
解析：本题考查常数项级数的敛散性。根据数项级数收敛的必要条件，即级数收敛，其通项在门趋于无穷时极限为零，可以直接排除选项D；关于选项A，因为
