专升本高等数学一（中值定理及导数的应用）模拟试卷1
判断题
1.若函数f(x)在区间(a，b)内仅有一个极值点，则该点不一定是驻点．( )(A)
A. 正确
B. 错误
C.
解析：若函数f(x)在点x0处导极值，则x0可能是驻点，可能是不可导点．
选择题
2.已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f’(x)=0有________个实根．(D)
A. 0
B. 1
C. 3
D. 2
解析：根据题意，方程f(x)=0有三个实根x=1，x=2和x=3．
显然，函数f(x)在[1，2]，[2，3]上满足罗尔定理条件，从而在开区间(1，2)和(2，3)分别至少存在一点ξ1、ξ2，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0，即方程f’(x)=0至少有两个实根．
又因为方程f’(x)=0为二次方程，因此最多有两个实根．
综上所述，方程f’(x)=0只有两个实根．
3.当a=_______时，方程2x3-9x2+12x-a=0恰有两个不同的实根．(B)
A. 3
B. 4
C. 8
D. 10
解析：令f(x)=2x3-9x2+12x-a，容易求得，f’(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)．
令f’(x)=0，得到函数f(x)可能的极值点为x=1和x=2．
当x＜1时，f’(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当1＜x＜2时，f’(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当x＞2时，f’(x)＞0，函数f(x)单调递增．
并且，f”(x)=12x-18，f”(1)=-6＜0，f”(2)=6＞0，从而，x=1和x=2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点．
又，f(1)=5-a，f(2)=4-a，因此，a=4时，函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点，即方程2x3-9x2+12x-a=0恰有两个不同的实根．
填空题
4.函数y=2x3-9x2+12x的单调递减的区间为________．
[1，2]．
解析：函数的定义域为(-∞，+∞)．容易求出，y’=6x2-18x+12．
由6x2-18x+12＜0，得到1＜x＜2．
从而，函数单调递减的区间为[1，2]．
5.当
时，f(x)=
单调递减．
解析：
因此，当时，f(x)=
6.函数f(x)在点x0处可微，f’(x0)=0是点x0为极值点的________条件．
必要．
解析：对可导函数而言，其极值点必为驻点，但驻点未必为极值点，并且，若点x0不是可导函数f(x)的驻点，则必然不是其极值点．
因此，函数f(x)在点x0处可微(或可导)，f’(x0)=0是点x0为极值点的必要条件．
7.已知函数y=x2-2px+q的极值点为x=1，则P=________．
1．
解析：可导函数的极值点必为驻点，因此y’｜x=1=0，即(2x-2p)｜x=1=0，得到p=1．
8.函数f(x)=2x(x-6)2在区间[-2，4]上的最大值点为________．
x=2．
解析：先求出函数f(x)在(-2，4)内的驻点和不可导点，由于该函数为可导函数，不存在不可导点，只需求驻点即可．
为此，令f’(x)=6(x-2)(x-6)=0，可以求得驻点x=2和x=6(舍去)．
容易求得，f(-2)=-256，f(2)=64，f(4)=32．
简单的比较可知，函数f(x)=2x(x-6)2的最大值为f(2)=64，最大值点为x=2．
简单解答题
9.函数f(x)=1-x2在[-1，3]上满足拉格朗日中值公式的点ξ等于________．
显然，函数f(x)在[-1，3]上连续，在(-1，3)内可导，符合拉格朗日中值定理的条件．又，f’(x)=-2x，根据拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈(-1，3)，使
f’(ξ)=-2ξ=[*]=-2．
解得ξ=1．
解析：
10.求极限
[*]
解析：
11.求极限
[*]
解析：
12.求极限
[*]
解析：
13.求极限
[*]
解析：
14.求极限
