2022年广东省专升本（高等数学）真题试卷

2022年广东省专升本（高等数学）真题试卷

综合题

设函数f(x)=2xlnx-x-1/x+2，

1.求曲线y=f(x)的拐点；

f(x)的定义域为(0，+∞)．

f′(x)=2lnx+2-1+[*]=2lnx+1+[*]

f″(x)=[*]

令f″(x)=0，解得x²-1=0，x₁=1，x₂=-1(舍去)．

代入原式得f(1)=0，得曲线y=f(x)拐点为(1，0)．

解析：

2.讨论曲线y=f(x)上是否存在经过坐标原点的切线．

设y=kx是曲线y=f(x)的切线，切点为(x₀，y₀)，

根据题意，可列出方程组[*]

消去是，可得x₀+[*]=1，此方程无实数解，故不存在经过原点的切线．

解析：

设函数f(x)连续，

3.证明：∫₀^xf(x-t)dt=∫₀^xf(t)dt；

∫₀^xf(x-t)dt[*]-∫_x⁰f(u)du=∫₀^xf(t)dt．

解析：

4.若f(x)满足f(x)=3x+1+∫₀^xtf(t)dt-x∫₀^xf(x-t)dt，则求f(x)．

由上题中结果可知，

f(x)=3x+1+∫₀^xtf(t)dt-x∫₀^xf(x-t)dt

=3x+1+∫₀^xtf(t)dt-x∫₀^xf(t)dt． ①

①式两边同时对x求导得

f′(x)=3+xf(x)-∫₀^xf(t)dt-xf(x)=3-∫₀^xf(t)dt． ②

②式两边同时对x求导得

f″(x)=-f(x)．

即f″(x)+f(x)=0． ③

③式为二阶常系数齐次线性微分方程，其对应的特征方程为r²+1=0，解得特征根为r_1，2=±i，故方程f″(x)+f(x)=0的通解为f(x)=C₁cosx+C₂sinx，f′(x)=-C₁sinx+C₂cosx．

又分别在①式和②式中令x=0，得f(0)=1，f′(0)=3，即C₁=1，C₂=3．

故f(x)=cosx+3sinx．

解析：

选择题

5.若函数f(x)(D)

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

解析：

6.(A)

A. e^-3

B. e

C. 1

D. e³

解析：

7.u_n=0是级数(B)

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

解析：级数收敛，一般项趋于零；一般项趋于零，级数不一定收敛．故一般项趋于零是级数收敛的必要条件，非充分条件．

8.已知(C)

A. 2

B. 1

C. -1

D. -2

解析：由题意知∫₁^+∞f(x)dx=

9.将二次积分I=∫₀¹dx∫_x¹f(x²+y²)dy化为极坐标系下的二次积分，则I= ( )(D)

A. ∫₀^π/4dθ∫₀^secθf(r²)dr

B. ∫₀^π/4dθ∫₀^cosθrf(r²)dr

C. ∫_π/2^π/4dθ∫₀^secθf(r²)dr

D. ∫_π/2^π/4dθ∫₀^cscθrf(r²)dr

解析：

由图可知，sinθ₁=1/r，r==cosθ₁．

已知θ的积分区域为[π/4，π/2]，y的积分区域为[0，本文档预览：3500字符，共6991字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载