云南专升本数学（函数、极限与连续）模拟试卷8

云南专升本数学（函数、极限与连续）模拟试卷8

证明题

1.证明：若f(x)在[a，b]上连续，a＜x₁＜x₂＜…＜x_n＜b，则在(x₁，x_n)内必有ξ，使

f(ξ)=[f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)]/n

由f(x)在[a，b]上连续知，f(x)在[x₁，x₂]上也连续，故f(x)在[x₁，x_n]上有最大值M，最小值m。于是

m≤[f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)]/n≤M，根据闭区间上连续函数的介值定理的相关推论知，存在ξ∈(x₁，x₂)，使

f(ξ)=[f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)]/n≤M。

解析：

解答题

2.求极限

[*]

解析：

3.求极限

当x→+∞时，1/x为无穷小量，且e^-π/2-1＜e^arctan2x-1＜e^π/2-1，

故e^arctan2x-1为有界变量，

所以[*][(e^arctan2x-1)/x]=[*](1/x)·(e^arctan2x-1)=0。

解析：

4.求极限

[*][(x²+x-sinx)/(x³-4x+5)]=[*](1/x+1/x²-sinx/x³)/(1-4/x²+5/x³)=0，

则(x²+x-sinx)/(x³-4x+5)为x→∞时的无穷小量；

又｜sinx｜≤1，

则sinx是有界变量，

因此[*][(x²+x-sinx)/(x³-4x+5)]sinx=0。

解析：

5.求极限

[*][(x+cosx)/x]=[*][1+(1/x)cosx]=1+[*](1/x)cosx=1+0=1。

解析：

6.求极限

x→0时，sinx～x，所以[*][sin(x²sinx)]/x=[*](x²sinx/x)=[*]xsinx=0。

解析：

7.计算

[*][sin(x²-1)/(x-1])=[*](x-1)/(x-1)=[*][(x-1)(x+1)]/[(x-1)(x+x+1)]=2/3

解析：

8.求

[*][(3x³-2x²-1)/arcsin(x²-1)]=[*][3x²(x-1)+x²-1]/(x²-1)=[*]3x²/(x+1)+1=5/2。

解析：

9.求极限

[*]

解析：

10.求极限

[*]

解析：

11.求极限

[*]

解析：

12.求极限

[*][(tanx-sinx)/x²ln(1+x)]=[*][tanx(1-cosx)]/(x²·x)=[*][(x(1/2)x²)/(x²·x)]=1/2。

解析：

13.求极限

[*]

解析：

14.求极限

[*][(x+2)²-1]/[x(x+1)²]=[*]{[(x+2)/3]³-1/x³}/{(x/x)·[(x+1)/x]²}=[*]{[(1+2/x)³-1/x³]/[1·(1+1/x)²]}=1。

解析：

15.求极限

[*]

解析：

16.求极限

原式=[*][(1-3/x)³⁰(3+1/x)²⁰]/(1-1/x)⁵⁰=(3/2)²⁰。

解析：

17.求极限

[*][(2+e^1/x)/(1+e^2/x)+｜x｜/sinx]=[*][(2e^-2/x+e^-1/x)/(e^-2/x+1)+x/sinx]=

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