云南专升本数学（函数、极限与连续）模拟试卷7

云南专升本数学（函数、极限与连续）模拟试卷7

证明题

1.证明：方程x⁴+4x-3=0在(0，1)内至少有一个实根。

令f(x)=x⁴+4x-3，则函数f(x)在闭区间[0，1]上连续。

又f(0)=-3＜0，f(1)=2＞0，故由连续函数的零点定理可知，至少存在一点c∈(0，1)，使得f(c)=0， 即方程x⁴+4x-3=0在(0，1)内至少有一个实根。

解析：

2.证明：方程x²e^x=2至少有一个小于1的正根。

令φ(x)=x²e^x-2，显然φ(x)在[0，1]上连续，且φ(0)=-2＜0，φ(1)=e-2＞0， 因此由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得φ(ξ)=0，从而方程x²e^x=2至少有一个小于1的正根。

解析：

填空题

3.已知当x→0时，f(x)～4x²,则

2

解析：[x(e^8x-1)/f(x)]=

4.

[*]

解析：

5.

2

解析：

6.

2

解析：

7.

1

解析：由取整函数的定义知，当x＞0时，有1/x-1＜[1/x]≤1/x，进而1-x＜x[1/x]≤1。

又(1-x)=1，故由夹逼定理可得

8.

1/2

解析：由于k/(n²+n+n)=k/(n²+2n)≤k/(n²+n+k)≤k/(n¹+n+1)(k=1，2，…，n)，

故[n(n+1)]/[2(n²+2n)]≤1/(n²+n+1)+2/(n²+n+2)+…+n/(n²+n+n)≤[n(n+1)]/2[(n²+n+1)]。

又因为[n(n+1)]/[2(n²+2n)]=

9.若

-6

解析：[arcsin(ax)/tan(3x)]=

10.设

4

解析：因为(x+1)=0，所以

11.若

ln2

解析：

12.如果

2，5

解析：根据“抓大头”的思想，因为[(3x²+4x+1)/(ax^m+x+

13.已知函数f(x)=

1

解析：

14.若

1，-4

解析：

15.若f(x)存在，且f(x)=x³+[(2x²+1)/(x+1)]+2f(x)，则

-5/2

解析：设f(x)=a，则等式f(x)=x³+[(2x²+1)/(

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