云南专升本数学（函数、极限与连续）模拟试卷4

云南专升本数学（函数、极限与连续）模拟试卷4

证明题

1.设在区间(-∞，+∞)内f(x)＞0，且f(x+a)=c/f(x)，其中c为非零常数，a＞0。

证明：f(x)为周期函数且周期为2a。

f(x+2a)=f[(x+a)+a]=c/f(x+a)=c/[c/f(x)]，又a＞0，故f(x)为周期函数且周期为2a。

解析：

2.设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y∈(-∞，+∞)(x≠y)有｜f(x)-f(y)｜＜｜x-y｜，证明：F(x)=f(x)+x在(-∞，+∞)内单调增加。

对任意x₁，x₂∈(-∞，+∞)，不妨设x₂＞x₁，则有

｜f(x₂)-f(x₁)｜＜｜x₂-x₁｜=x₂-x₁，而

f(x₁)-f(x₂)≤｜f(x₂)-f(x₁)｜＜x₂-x₁， 因而

f(x₁)+x₁＜f(x₂)+x₂， 即

F(x₁)＜F(x₂)，故F(x)在(-∞，+∞)内单调增加。

同理可证当x₁＞x₂时，上述结论也成立。

综上可知F(x)=f(x)+x在(-∞，+∞)内单调增加。

解析：

山东专升本（数学）单选题

3.若a_n-2，则(A)

A. 2

B. 6

C. ∞

D. 0

解析：因为数列{a_3n}为数列{a_n}的一个子列，故a_3n=

4.下列数列发散的是( )(D)

A. 1/2，0，1/8，0，1/32，0，…，(1/2)ⁿ，0，…

B. 1，1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，…，1、n，…

C. 0．9，0．99，0．999，0．9999，…，1-(1/10)ⁿ，…

D. sin1，sin2，sin3，sin4，…，sinn，…

解析：

5.下列数列{x_n}中收敛的是( )(B)

A. x_n=(-1)ⁿ[(n-1)/n]

B. x_n=C. x_n=sin(nπ/2)

D. x_n=ln(1+n²)

解析：A、C项中的不同子列在n→∞时极限结果不同，由数列极限存在且唯一知，两项中的数列极限均不存在，故发散；B项中，x_n=0，故数列收敛；D项中，

6.设函数f(x)在(-1，0)(0，1)内有定义，如果极限(B)

A. 存在正数δ＜1，使f(x)在(-δ，δ)内有界

B. 存在正数δ＜1，使f(x)在(-δ，0)C. f(x)在(-1，1)内有界

D. f(x)在(-1，0)解析：函数的定义域为(-1，0)(0，1)，从而函数的有界性只能在定义域(-1，0)(0，1)内考虑。由于极限f(x)存在，故由函数极限的局部有界性可知存在正数δ＜1，使f(x)在(-δ，0)

7.以下说法正确的是( )(B)

A. 若数列有界，则该数列一定收敛

B. 若数列{x_n}收敛，则该数列一定有界

C. 若函数在一点处的极限存在，则函数在该点处有定义

D. 若函数在一点处左、右极限都存在，则函数在该点处的极限存在

解析：数列{x_n}收敛，则该数列一定有界，反之不一定成立；函数在一点处的极限存在与在该点处有无定义无关；若函数在一点处左、右极限都存在且相等，则函数在该点处的极限存在。

8.设a_n存在且不为0，则数列{b_n}满足条件__________时，

C

解析：单调有界数列必有极限，所以当数列{b_n}单调有界时，b_n存在，又因为a_n存在，此时a_nb_n=a_n·

9.

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