山东省专升本（高等数学）模拟试卷6

山东省专升本（高等数学）模拟试卷6

证明题

1.证明f(x)=∫₀^2x

因[*]在(﹣∞，+∞)上为奇函数，故只需证明∫₀^2x[*]在(﹣∞，+∞)上为奇函数即可，没F(x)=∫₀^2x[*]，则F(﹣x)=∫₀^2x[*]对于F(﹣x)，令t=﹣u，则u=﹣t，dt=﹣du，故F(﹣x)=∫₀^-2x[*]

故F(x)=∫₀^2x[*]为奇函数，原命题成立．

解析：

2.如果f(x)在[2，4]上连续，在(2，4)上可导，f(2)=1，f(4)=4，求证：∈(2，4)，使得f′(ξ)=

令F(x)=[*]由于f(x)在[2，4]上连续，在(2，4)上可导，故F(x)在[2，4]上连续，在(2，4)上也可导，且[*]又F(2)=[*]所以由罗尔定理可得，[*]∈(2，4)，使得F′(ξ)=0，即[*]也即ξf′(ξ)﹣2f(ξ)=0，故f′(ξ)=[*]成立．

解析：

选择题

3.如果(A)

A. (﹣1，0)

B. (0，1)

C. (1，2)

D. (2，3)

解析：

4.设函数y=f(x)在点x₀的某个邻域内有定义，若(B)

A. B. C. D. 解析：

5.函数y=x²﹣2x的单调区间是( )。(D)

A. (﹣∞，+∞)单调增

B. (﹣∞，+∞)单调减

C. [1，+∞)单调减，(﹣∞，1]单调增

D. [1，+∞)单调增，(﹣∞，1]单调减

解析：

6.设f(x)是连续函数，则(D)

A. f(x²)

B. 2xf(x²)

C. ﹣f(x²)

D. ﹣2xf(x²)

解析：

7.微分方程(y″)⁵+2(y′)³+xy⁶=0的阶数是( )(B)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解析：

填空题

8.假设函数f(x)是周期为2的可导函数，则f′(x)的周期为________．

2

解析：

9.当x→0时，若

[*]

解析：

10.若∫xf(x)dx=x²+c，则

x+C

解析：

11.若z=x³+6xy+y³，则

18

解析：

12.如果幂级数∑_n=0^∞a_nxⁿ的收敛半径为2，则幂级数∑_n=0^∞na_n(x﹣1)^n-1的收敛区间为________．

(﹣1，3)

解析：

解答题

13.求

[*]

解析：

14.若y=x²+e^x+x^x+a^2a，求y′．

因(x^e)′=ex^e-1，(e^x)′=e^x，(a^2a)′=0，

(x_x)′=(e^xlnx)′=e^xlnx·(lnx+[*])=(1+lnx)x^x，

故y′=ex^e-1+e^x+(1+lnx)x^x．

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