广东省专升本（高等数学）模拟试卷66

广东省专升本（高等数学）模拟试卷66

综合题

1.某工厂要造一个长方体的库房，其体积为1500 000 m³，前墙和房顶的造价分别是其他墙面造价的3倍和1．5倍，问库房前墙长和高为多少时，库房造价最小?(墙厚薄不计)

设长方体库房的前墙长、宽、高分别为x，y，z(m)，则长方体库房的体积为V=xyz(其中V=1 500 000 m³)．

并设长方体库房的前墙、房顶及其他各面的单位面积造价分别为3k，1．5k，k，则长方体库房的

总造价为u=3kxz+1．5kxy+(kxz+2·k·yz)=4kxz+1．5kxy+2kyz．

令L(x，y．z，λ)=(4kxz+1．5kxy+2kyz)+λ(xyz-V)，

[*]

注意上述方程(*)的解法：x乘式①，y乘式②，z乘式③，可得y=2x，z=[*]x，代入式④即可解出x，y，z的值．

解析：

2.设函数f(x)=

由f(x)在(-∞，+∞)连续，知f(1-0)=f(1+0)=f(1)．

又f(1-0)=[*](a+x²)=a+1．f(1)=2，所以a=1，b=3．

解析：

选择题

3.f′(x)＞g′(x)是f(x)＞g(x)的 ( )．(D)

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

解析：如取f(x)=2x，g(x)=x+4，x∈(0，1)，则f′(x)=2＞g′(x)=1，但f(x)＜g(x)．

反之，如取f(x)=2，g(x)=1，x∈(-∞，+∞)，则f(x)＞g(x)，但f′(x)=g′(x)．

4.一曲线在它任意一点处的切线斜率等于-2x/y，这曲线是 ( )．(D)

A. 直线

B. 抛物线

C. 圆

D. 椭圆

解析：由题意可得微分方程 ①

方程①为可分离变量型．式①两边分离变量后同时积分，得∫ydy=-∫2xdx，即

5.设区域D：x²+y²≤R²，则二重积分(D)

A. 半径为R的圆的面积

B. 半径为R的圆的面积的一半

C. 半径为R的球体的体积

D. 半径为R的球体的体积的一半

解析：二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积，以D为底，以被积函数z=f(x，y)为顶部曲面，然后围出一个曲顶柱体．这个柱体的体积就是二重积分的结果．

本题中，D就是x²+y²≤R²，是个圆，顶部曲面为z=

6.设I=∫₀¹(A)

A. 0≤I≤B. 1/5≤I≤1

C. D. I≥1

解析：

即

所以由估值定理知

7.设函数f(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，且f_x(0，0)=3，f_y(0，0)=-1，则有 ( )．(C)

A. dz｜_(0，0)=3dx-dy

B. 曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的一个法向量为(3，-1，1)

C. 曲线D. 曲线解析：函数f(x，y)在点(0，0)处的两个偏导数存在，不一定可微分，故A不对．

由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))处存在切平面，因而B不对；

若z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))处存在连续偏导数．曲面在该点处有切平面．其法向量是(3，-1，-1)，而不是(3，-1，1)，故D也不对．

取x为参数，则曲线x=x，y=0，z=f(x，0)在点(0，0，f(0，0))处的一个切向量为(1，0，3)，故C正确．

填空题

8.方程y′+2y=0的通解是________．

y=Ce^-2x

解析：原式方程①可化为dy/dx=-2y． ②

②为可分离变量型，分离变量后两边积分，得∫

9.函数f(x)在x₀处可导，f(x)在x₀处取得极值的________条件是f′(x₀)=________．

必要；0

解

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