广东省专升本（高等数学）模拟试卷64

广东省专升本（高等数学）模拟试卷64

综合题

1.求由曲面z=x²+2y²及曲面z=6-2x²-y²所围成的立体的体积．

由二重积分的几何意义知，V=[*][(6-2x²-y²)-(x²+2y²)]dσ，其中D为圆域x²+y²≤2．(D的求法：[*]，消去z．)

V=[*][(6-2x²-y²)-(x²+2y²)]dσ

=4∫₀^π/2[[*](6-3r²)rdr]dθ

=4∫₀^π/2[(3r²-[*]r²)[*]]dθ=4∫₀^π/23dθ=6π．

解析：

已知函数f(x)是g(x)=5x⁴-20x³+15x²在(-∞，+∞)上的一个原函数，且f(0)=0．

2.求f(x)；

因为f′(x)=g(x)=5x⁴-20x³+15x²，

所以f(x)=∫(5x⁴-20x³+15x²)dx=x⁵-5x⁴+5x³+C．

因为f(0)=0→C=0，所以f(x)=x⁵-5x⁴+5x⁸．

解析：

3.求f(x)的单调区间和极值．

因为f′(x)=g(x)=5x⁴-20x³+15x²=5x²(x-3)(x-1)，

令f′(r)=0，解得x₁=0，x₂=1，x₃=3．

列函数性态表如下：

[*]

故f(x)在区间(-∞，1]及[3，+∞)上单调增加，在区间[1，3]上单调减少；f(x)的极大值为f(1)=1，极小值为f(3)=-27．

解析：

选择题

4.函数f(x)=2x³-3sinx的奇偶性为 ( )．(A)

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 非奇非偶

D. 无法判断

解析：由奇偶性定义，因为f(-x)=2(-x)³-3sin(-x)=-2x³+3sinx=-f(x)，所以f(x)=2x³-3sinx是奇函数．故选A．

5.过椭圆x²+2y²=27上横、纵坐标相等的点的切线斜率为 ( )．(B)

A. -1

B. -1/2

C. 1/2

D. 1

解析：设椭圆x²+2y²=27上横、纵坐标相等的点为M₀(x₀，x₀)．方程x²+2y²=27两边关于x求导得2x+4y·y′=0，于是y′=-x/2y，所以M₀处切线斜率为y′(x₀)=-x₀/2x₀=-1/2．故选B．

6.函数f(x)在[a，b]上连续，是f(x)在[a，b]上可积的 ( )．(B)

A. 必要条件

B. 充分条件

C. 充要条件

D. 无关条件

解析：根据定理函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积，反之不成立，则f(x)在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上可积的充分条件．故选B．

7.微分方程(C)

A. y=cosωx

B. y=Csinωx

C. y=C₁cosωx+C₂sinωx

D. y=Ccosωx+Csinωx

解析：此题无须采用直接求解或代入检验的方法来选择正确答案，根据通解的定义即可迅速得到正确答案．事实上，因为二阶微分方程的通解里应含有两个独立的任意常数，所以应选C．

直接求通解也很简单：方程d²y/dx²+ω²y=0的特征方程为r²+ω²=0，其特征根为r=0±ωi，所以其通解是y=e^0x(C₁cosωx+C₂sinωx)=C₁cosωx+C₂sinωx．

8.若点(1，-2)为曲线y=ax³-bx²的拐点，则常数a与b的值应分别为 ( )．(A)

A. 1和3

B. 3和1

C. -2和6

D. 6和-2

解析：若点(x₀，f(x₀))为曲线y=f(x)的拐点，则f″(x₀)=0或f″(x₀)不存在．y=ax³-bx²处处二阶可导，y′=3ax²-2bx，y″=6ax-2b．

由题意y(1)=-2，y″(1)=0，

即

填空题

9.设x=(x-2y)^y，则=________，

y(x-2y)^y-1；(x-2y)^y[*]

解析：对z=(x-2y)^y取对数，得

lnz=yln(x-2y)． ①

①式两边关于x求偏导，得

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