广东省专升本（高等数学）模拟试卷73
综合题
1.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积最大?
设该矩形的底和高分别为x，y，则该矩形绕其高旋转形成的旋转体的体积为V=πx2y．则问题转化为求V=πx2y在条件2x+2y=2p，即x+y-p=0下的条件极值．用拉格朗日乘数法解之．令L(x，y，λ)=πx2y+λ(x+y-p)．
求L(x，y，λ)的驻点，即[*]
因此该矩形的长、短边分别为[*]时，该矩形绕短边旋转可使旋转体有最大体积．
解析：
2.一房地产公司有50套公寓要出租．当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去；当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费．试问房租定为多少可获最大收入?
房租定为x元，纯收入为R元．
当x≤1000时，R=50x-50×100=50x-5 000，且当x=1 000时，得最大纯收入45 000元．
当x＞1 000时，R=[50-1/50(x-1 000)]·x-[50-1/50(x-1 000)]×100=-[*]x2+72x-7 000，0，R′=-[*]x+72．令R′=0，得(1 000，+∞)内唯一驻点x=1 800．因为R″=-1/25＜0，所以x=1 800为极大值点，同时也是最大值点．最大值为R=57 800．
因此．房租定为1 800元可获最大收入．
解析：
选择题
3.当x→1时，下列变量中为无穷大量的是 ( )．
(C)
A.
B.
C.
D.
解析：
4.微分方程y″-2y′=x的特解y″的形式为 ( )．(D)
A. ax
B. ax+b
C. ax2
D. ax2+bx
解析：微分方程．y″-2y′=x的齐次方程的特征方程为r2-2r=0，所以特征根为：r1=0，r2=2．这里右端项f(x)=x=e0xx，因为λ=0是单特征根，故可设y*=x1e0x(ax+b)=ax2+bx．故选D．
5.下列级数中，条件收敛的是 ( )．
(B)
A.
B.
C.
D.
解析：
6.设f(x)=xlnx，则f(x) ( )．(A)
A. 在(0，1/e)内单调减少
B. 在(1/e，+∞)内单调减少
C. 在(0，+∞)内单调减少
D. 在(0，+∞)内单调增加
解析：①D=(0，+∞)．
②f′(x)=1+lnx．
③令f′(x)=0→x=1/e．定义域内无不可导点．
④列表判断：
7.设f(x)=x2+arccot
(B)
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 无穷间断点
D. 振荡间断占
解析：
填空题
8.当x→∞时，f(x)与3/x为等价无穷小量，则
6
解析：
9.已知曲线过点(1，2)且其上任一点处的切线斜率为x2，则曲线的方程y=f(x)=________．
[*]
解析：由题意得微分方程
方程通解为y=∫x2dx=
将初始条件y(1)=2代入上式，求得C=5/3．故所求曲线的方程为y=
10.函数y=
0；4
解析：①
11.比较下列积分的大小∫12lnxdx________∫12(lnx)2dx．
≥
解析：因为当1≤x≤2时，0≤lnx＜1，lnx≥(lnx)2，所以∫12lnxdx≥∫12(lnx)2dx．
12.
π(e9-1)
解析：本文档预览：3500字符，共5098字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载
