贵州专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷2

贵州专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷2

证明题

1.已知方程x⁴-6x²-9x=0有一正根x=3，证明：方程4x³-12x-9=0必有一个小于3的正根．

令f(x)=x⁴-6x²-9x，f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，f’(x)=4x³-12x-9，由题意可知f(3)=0，f(0)=0，

故由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=4ξ³-12ξ-9=0，

即方程4x³-12x-9=0必有一个小于3的正根．

解析：

2.证明：当x＞1时，

令[*]，x∈[1，+∞)，

因为x＞1时，[*]，所以f(x)在[1，+∞)上单调增加，

则x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即[*]

解析：

选择题

3.下列函数在区间[-1，1]上满足罗尔中值定理所有条件的是 ( )(C)

A. y=2x+1

B. y=｜x｜-1

C. y=x²+1

D. 解析：A项中，y(1)≠y(-1)；B项中，函数在x=0处不可导；D项中，函数在x=0处无定义；C项中，函数y=x²+1在[-1，1]上连续，在(-1，1)内可导，且y(1)=y(-1)，满足罗尔中值定理所有条件，故选C

4.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有 ( )(A)

A. B. y=xe^-x，[-1，1]

C. D. y=lnx²，[-1，1]

解析：B选项中，y(-1)≠y(1)，C选项中，函数在x=-1处不连续，D选项中，函数在x=0处无定义，A选项中，函数在[-1，1]上连续，在(-1，1)内可导，y(-1)=y(1)，符合罗尔定理的条件，故选A

5.设f(x)在[1，e]上可导，且f(1)=0，f(e)=1，则f’(x)=1/x在(1，e)内 ( )(B)

A. 至多有一个实根

B. 至少有一个实根

C. 没有实根

D. 根的情况无法确定

解析：设F(x)=f(x)-lnx，由题意可知F(x)在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，F(1)=0，F(e)=0，F’(x)=．

由罗尔定理得至少存在一点ξ∈(1，e)，使F’(ξ)=0，即

6.已知函数f(x)在[0，1]上连续，对于任意的x∈(0，1)，有f’(x)＞0，则必有 ( )(D)

A. f(0)＜0

B. f(1)＞0

C. f(1)＜f(0)

D. f(1)＞f(0)

解析：由f(x)在[0，1]上连续，且对于任意的x∈(0，1)，有f’(x)＞0，可知f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(1)＞f(0)，但f(0)，f(1)与0的大小关系无法判断．

7.函数(C)

A. (-∞，-2)

B. (0，+∞)

C. (-2，-1)，(-1，0)

D. (-2，0)

解析：首先求得函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)，

8.函数(A)

A. 1个驻点，2个极值点

B. 2个驻点，1个极值点

C. 1个驻点，1个极值点

D. 2个驻点，2个极值点

解析：，x∈R，，令y’=0，得驻点x=1，又函数在x=0处不可导，当x＜0时，y’＞0，当0＜x＜1时，y’＜0，当x＞1时，y’＞0，所以x=0和x=1是函数的极值点，因此

9.点x=0是函数y=x⁴的 ( )(D)

A. 驻点但非极值点

B. 非驻点

C. 驻点且是极大值点

D. 驻点且是极小值点

解析：已知y=x⁴，得y’=4x³，又y’(0)=0，因而x=0为驻点．

当x＜0时，y’＜0；当x＞0时，y’＞0，所以x=0是y=x⁴的极小值点，故选D

10.曲线y=2x-(x+1)⁵的拐点为 ( )(A)

A. (-1，-2)

B. x=-1

C. (0，-1)

D. 不存在

解析：y’=2-5(x+1)⁴，y\\

11.设函数f(x)满足关系式f\\(A)

A. f(0)是f(x)的极大值

B. f(0)是f(x)的极小值

C. 点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点

D. f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点

解析：由f’(0)=0及f\\

填空题

12.如果f(x)=x²+kx+3在区间[-

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