湖南专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷5

湖南专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷5

证明题

1.已知f(x)在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且f(1)f(2)＜0，f(2)f(3)＜0，证明至少存在一点ξ∈(1，3)，使得f’(ξ)-f(ξ)=0．

由题意可知，f(1)与f(2)异号，f(2)与f(3)异号，因此由连续函数的零点定理可知，至少存在两点ξ₁∈(1，2)，ξ₂∈(2，3)，使得f(ξ₁)=f(ξ₂)=0．

构造辅助函数F(x)=e^-xf(x)，

则F(x)在[ξ₁，ξ₂]上连续，在(ξ₁，ξ₂)内可导，且F(ξ₁)=F(ξ₂)=0，

因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](1，3)，使得F’(ξ)=0．

又因为F’(x)=e^-xf’(x)-e^-xf(x)=e^-x[f’(x)-f(x)]，

因此有e^-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，又e^-ξ＞0，则f’(ξ)-f(ξ)=0．

解析：

2.已知函数

[*]

因为x＞e，所以1-lnx＜0，且由题意知a＞0，故f’(x)＜0，

故f(x)在(e，+∞)内单调递减，又e＜b＜a，则f(a)＜f(b)．

而f(a)=0，则f(b)＞0，即alnb-blna＞0，alnb＞blna，故a^b＜b^a

解析：

选择题

3.下列函数在给定区间上满足拉格朗日定理条件的有 ( )(A)

A. y=sinx，[0，π/2]

B. y=ln｜x｜，[-1，1]

C. D. 解析：B选项中，函数在x=0处无定义，C选项中，函数在(1，2]上无定义，D选项中，函数在x=0处不连续，A选项中，函数在[0，π/2]上连续，在(0，π/2)内可导，符合拉格朗日定理的条件，故选A

4.函数f(x)=x(x-2)(x-7)，则方程f’(x)=0实根的个数为 ( )(A)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解析：易知f(x)在[0，7]上连续，在(0，7)内可导，且f(0)=f(2)=f(7)=0，即f(x)在[0，2]，[2，7]上均满足罗尔定理的条件，可知存在ξ₁∈(0，2)，ξ₂∈(2，7)使得f’(ξ₁)=f’(ξ₂)=0，又知f(x)为三次多项式，则f’(x)为二次多项式，故f’(x)最多有2个零点，综上可得，f’(x)=0的实根个数为2，故选A

5.x=0是函数f(x)=e^x2+2x的 ( )(D)

A. 零点

B. 驻点

C. 极值点

D. 非极值点

解析：f(x)=e^x2+2x，则f’(x)=(2x+2)e^x2+2x，所以f(0)=1，f’(0)=2，故x=0既不是函数f(x)的零点，也不是其驻点和极值点，故选D

6.设函数f(x)=(1+x)e^x，则函数f(x) ( )(A)

A. 只有极小值

B. 只有极大值

C. 既有极小值又有极大值

D. 无极值

解析：f’(x)=e^x+(1+x)e^x=(x+2)e^x，令f’(x)=0得唯一驻点x=-2，又x＜-2时，f’(x)＜0，x＞-2时，f’(x)＞0，从而f(x)在点x=-2处取得极小值，且f(x)只有一个极值．

7.设函数f(x)在点x₀的某个邻域内可导，且f(x₀)为f(x)的一个极小值，则(B)

A. -2

B. 0

C. 1

D. 2

解析：因为f(x)在点x=x₀处可导且取得极小值，于是f’(x₀)=0，故

8.曲线y=5-(x+5)⁷的凹区间为 ( )(A)

A. (-∞，-5)

B. (-5，+∞)

C. (-∞，5)

D. (5，+∞)

解析：函数y的定义域为(-∞，+∞)，y’=-7(x+5)⁶，y\\

9.设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＜0，f\\(B)

A. Δy＞dy＞0

B. Δy＜dy＜0

C. dy＞Δy＞0

D. dy＜Δy＜0

解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)Δx＜0，因此应排除A、C项，由于f\\

填空题

10.函数y=2e^x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_______．

ln(e-1)

解析：y=2e^x，y’=2e^x，函数y=2e^x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在一点ξ∈(0，1)使得y’(ξ)=2e^ξ=

11.函数f(x)=cosx在区间[-π/3，π/3]上满足罗尔定理结论的ξ=____________．

0

解析：f(x)=-sinx，因为f(x)在[-π/3，π/3]上满足罗尔定理的条件，故存在一点ξ∈(-π/3，π/3)，使得-sinξ=0，解得ξ=0．

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