湖南专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷2
证明题
1.已知方程x4-6x2-9x=0有一正根x=3，证明：方程4x3-12x-9=0必有一个小于3的正根．
令f(x)=x4-6x2-9x，f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，f’(x)=4x3-12x-9，由题意可知f(3)=0，f(0)=0，
故由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=4ξ3-12ξ-9=0，
即方程4x3-12x-9=0必有一个小于3的正根．
解析：
2.证明：当x＞1时，
令[*]，x∈[1，+∞)，
因为x＞1时，[*]，所以f(x)在[1，+∞)上单调增加，
则x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即[*]
解析：
选择题
3.下列函数在区间[-1，1]上满足罗尔中值定理所有条件的是 ( )(C)
A. y=2x+1
B. y=｜x｜-1
C. y=x2+1
D. 
解析：A项中，y(1)≠y(-1)；B项中，函数在x=0处不可导；D项中，函数在x=0处无定义；C项中，函数y=x2+1在[-1，1]上连续，在(-1，1)内可导，且y(1)=y(-1)，满足罗尔中值定理所有条件，故选C
4.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有 ( )(A)
A. 
B. y=xe-x，[-1，1]
C. 
D. y=lnx2，[-1，1]
解析：B选项中，y(-1)≠y(1)，C选项中，函数在x=-1处不连续，D选项中，函数在x=0处无定义，A选项中，函数在[-1，1]上连续，在(-1，1)内可导，y(-1)=y(1)，符合罗尔定理的条件，故选A
5.设f(x)在[1，e]上可导，且f(1)=0，f(e)=1，则f’(x)=1/x在(1，e)内 ( )(B)
A. 至多有一个实根
B. 至少有一个实根
C. 没有实根
D. 根的情况无法确定
解析：设F(x)=f(x)-lnx，由题意可知F(x)在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，F(1)=0，F(e)=0，F’(x)=
．
由罗尔定理得至少存在一点ξ∈(1，e)，使F’(ξ)=0，即
6.已知函数f(x)在[0，1]上连续，对于任意的x∈(0，1)，有f’(x)＞0，则必有 ( )(D)
A. f(0)＜0
B. f(1)＞0
C. f(1)＜f(0)
D. f(1)＞f(0)
解析：由f(x)在[0，1]上连续，且对于任意的x∈(0，1)，有f’(x)＞0，可知f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(1)＞f(0)，但f(0)，f(1)与0的大小关系无法判断．
7.函数
(C)
A. (-∞，-2)
B. (0，+∞)
C. (-2，-1)，(-1，0)
D. (-2，0)
解析：首先求得函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)，
8.函数
(A)
A. 1个驻点，2个极值点
B. 2个驻点，1个极值点
C. 1个驻点，1个极值点
D. 2个驻点，2个极值点
解析：
，x∈R，
，令y’=0，得驻点x=1，又函数在x=0处不可导，当x＜0时，y’＞0，当0＜x＜1时，y’＜0，当x＞1时，y’＞0，所以x=0和x=1是函数的极值点，因此
9.点x=0是函数y=x4的 ( )(D)
A. 驻点但非极值点
B. 非驻点
C. 驻点且是极大值点
D. 驻点且是极小值点
解析：已知y=x4，得y’=4x3，又y’(0)=0，因而x=0为驻点．
当x＜0时，y’＜0；当x＞0时，y’＞0，所以x=0是y=x4的极小值点，故选D
10.曲线y=2x-(x+1)5的拐点为 ( )(A)
A. (-1，-2)
B. x=-1
C. (0，-1)
D. 不存在
解析：y’=2-5(x+1)4，y\\
11.设函数f(x)满足关系式f\\(A)
A. f(0)是f(x)的极大值
B. f(0)是f(x)的极小值
C. 点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点
D. f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
解析：由f’(0)=0及f\\
填空题
12.如果f(x)=x2+kx+3在区间[-
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