湖南专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷3
证明题
1.设f(x)在[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f(ξ)+f’(ξ)=0．
因为[exf(x)]’=exf(x)+exf’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，
故设F(x)=exf(x)，显然F(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，F(a)=F(b)=0．
由罗尔定理得至少存在一点ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即eξ[f(ξ)+f’(ξ)]=0，
又eξ＞0，则f(ξ)+f’(ξ)=0．
解析：
2.证明：当x＞0时，有
令[*]
因为当x＞0时，[*]，所以F(x)在(0，+∞)内单调递减，又
[*]
所以对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即[*]
解析：
选择题
3.设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则f’(x)=0有 ( )(B)
A. 一个实根
B. 两个实根
C. 三个实根
D. 无实根
解析： 已知f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)在[1，2]、[2，3]上可导且连续，又f(1)=f(2)=f(3)=0，利用罗尔定理可知至少存在点ξ1∈(1，2)，ξ2∈(2，3)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0；因为f(x)是三次多项式，所以f’(x)是二次多项式，最多有2个零点，所以f’(x)=0有2个实根．
4.下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的有 ( )(A)
A. y=sin2x，[0，π/2]
B. y=｜tanx｜，[-1，1]
C. y=x3+3x+1，[0，1]
D. 
解析：B选项中，函数在x=0处不可导；C选项中，y(0)≠y(1)；D选项中，函数在(-1，1)内无定义；A选项中，函数在[0，π/2]上连续，在(0，π/2)内可导，y(0)=y(π/2)，符合罗尔定理的条件，故选A
5.极限
(A)
A. 1/3
B. 1/2
C. 1/4
D. 2
解析：
6.若函数f(x在点x0具有二阶导数f\\(A)
A. 极大值
B. 极小值
C. 最大值
D. 最小值
解析：由极值存在的第二充分条件可知当f’(x0)=0且f\\
7.函数f(x)=2x3-6x的极小值为 ( )(A)
A. -4
B. 0
C. 2
D. 4
解析：首先可知f(x)的定义域为R，且f’(x)=6x2-6，令f’(x)-0，可得驻点x1=-1，x2=1，又f\\
8.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f’(x)＞0，若f(a)·f(b)＜0，则y=f(x)在(a，b)内 ( )(B)
A. 不存在零点
B. 存在唯一零点
C. 存在极大值点
D. 存在极小值点
解析：由题意知f(x)在(a，b)内单调递增，且f(a)·f(b)＜0，则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点．
9.曲线y=x3-6x2+3x+4的拐点为 ( )(A)
A. (2，-6)
B. (-2，-34)
C. (2，6)
D. (-2，6)
解析：y’=3x2-12x+3，y\\
10.若曲线f(x)在(a，b)内任意一点的切线总位于曲线弧下方，则该曲线在(a，b)内是 ( )(A)
A. 凹的
B. 凸的
C. 单调上升
D. 单调下降
解析：由凹凸性的定义可知答案选A
11.方程3x-1-arctanx=0在区间(0，1)内有______个实根． ( )(B)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解析：设f(x)=3x-1-arctanx，则f(x)在[0，1]上连续，f(0)=-1，f(1)=3-1-arctan1=
＞0，且f(0)·f(1)＜0
所以由零点定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0．
又
填空题
12.对任意常数a＜b，都有sinb-sina__________b-a．(填“≥”或“≤”)
≤
解析： 令f(x)=sinx，则f’(x)=cosx，f(x)在[a，b]上满足拉格朗日定理的条件，所以存在ξ∈(a，b)，使
13.f(x)=5x2-x3在区间__________内为单调递增的函数．
(0，10/3)
解析：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，令f’(x)=10x-3x2＞0，可得0＜x＜10/3，所以f(x)在区间(0，10/3)内为单调递增的函数．
14.已知f(x)=xe-x，则f(x)的凸区间是________，凹区间是___________．
(-∞，2)，(2，+∞)
解析：函数的定义域是(-∞，+∞)，f’(x)=e-x-xe-x=(1-x)e<
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