天津专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷7
证明题
1.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，证明：若f(x)不恒为常数，则至少存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0．
因为f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，
所以至少存在x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，则f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)．
不妨设f(x0)＜f(a)，则在[x0，b]上应用拉格朗日定理，得至少存在一点ξ∈(x0，b)[*](a，b)，使
得[*]
对于f(x0)＞f(a)的情形同理可证．
解析：
2.证明：当x＜0时，2arctanx＜ln(1+x2)．
令f(x)=ln(1+x2)-2arctanx，
则[*]
当x＜0时，f’(x)＜0，f(x)单调递减，则有f(x)＞f(0)=0，
即当x＜0时，2arctanx＜ln(1+x2)．
解析：
3.证明：方程
令[*]，而f(e)=1/2＞0，所以f(x)在(0，e)内至少有一个零点，在(e，e2)内至少有一个零点．
[*]，令f’(x)=0，得x=e．
又当0＜x＜e时，f’(x)＞0，f(x)单调增加；当x＞e时，f’(x)＜0，f(x)单调减少．
所以f(x)在(0，e)，(e，e2)内各仅有一个零点，
故方程[*]在(0，e2)内有且仅有两个实根
解析：
选择题
4.函数f(x)=x2在[0，1]上满足拉格朗日定理结论中的ξ= ( )(B)
A. 1/3
B. 1/2
C. 1/4
D. 1/5
解析：f’(x)=2x，f(x)在[0，1]上满足拉格朗日定理的条件，即存在一点ξ∈(0，1)，使
5.函数y=ln(x2-2x+4)的单调递减区间是 ( )(D)
A. (2．+∞)
B. (1．+∞)
C. (-∞，2)
D. (-∞，1)
解析：因为x2-2x+4=(x-1)2+3＞0，所以y的定义域为(-∞，+∞)，令
6.若x=x0为函数y=f(x)的极大值点，则下列结论正确的是 ( )(D)
A. f(x0)比任何点的函数值都大
B. 不可能存在比f(x0)大的极小值
C. x0也可能是区间的端点
D. 以上说法都不对
解析：由题意可知在x0的某个去心邻域内，有f(x)＜f(x0)，极值是局部概念，可能存在比f(x0)大的极小值，但极值点不可能在区间端点取到，故选D
7.曲线
(C)
A. 是凹的，没有拐点
B. 是凸的，没有拐点
C. 有拐点(b，a)
D. 以上都不对
解析：
填空题
8.函数f(x)=x3+2x在区间[0，1]上满足拉格朗日定理结论中的ξ=________．
[*]
解析：f’(x)=3x2+2，f(x)在[0，1]上满足拉格朗日定理的条件，则至少存在一点ξ∈(0，1)，使得
9.已知当x→0时，
-1/48
解析：由题意可知
10.曲线
(1/2，+∞)
解析：
11.f(x)=arctanx2在区间________内为单调递减的函数．
(-∞，0)
解析：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，
12.当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数)，则p=_________．
-1
解析：f’(x)=3x2+3p，f(x)在点x=1处取得极值，则f’(1)=3+3p=0，所以p=-1．
13.曲线y=2lnx+x2+5的凸区间是____________．
(0，1)
解析：函数y的定义域为(0，+∞)，
14.函数y=(x-2)2(x+1)2/3在区间[-2，2]上的最大值是_________，最小值是_________．
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