天津专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷4

天津专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷4

证明题

1.已知

因为[*]

故F(x)≡C，令x=0可得F(0)=0，所以F(x)=0恒成立，结论得证．

解析：

2.证明：当x＞0时，有不等式(1+x)ln(1+x)＞arctanx．

令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx，f’(x)=ln(1+x)+1-[*]

当x＞0时，f’(x)＞0，

则f(x)单调递增，故有f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx

解析：

选择题

3.设f(x)在R上可导，则对任意的x≠y恒有｜f(x)-f(y)｜＜｜x-y｜是｜f’(x)｜＜1的 ( )(C)

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析： 充分性：由于f(x)在R上可导，故由拉格朗日定理可得，ξ介于x，y之间，又因为x，y是任意的，则ξ是任意的，故有｜f’(x)｜＜1；

必要性：假设存在两个不相等的x₁、x₂，其中x₁＜x₂，满足｜f(x₁)-f(x₂)｜≥｜x₁-x₂｜，则在区间[x₁，x₂]上应用拉格朗日定理可得存在ξ∈(x₁，x₂)，使得

4.函数(B)

A. 0

B. π/8

C. π/6

D. 3π/16

解析：由题意得存在ξ∈(0，π/4)，使得

5.极限(D)

A. 0

B. 1

C. 2

D. +∞

解析：

6.如图所示，曲线y=f(x)在区间[1，+∞)上 ( )

(B)

A. 单调增加且是凸的

B. 单调增加且是凹的

C. 单调减少且是凸的

D. 单调减少且是凹的

解析：通过观察曲线y=f(x)的图像可知，曲线在区间[1，+∞)上单调增加，又因为曲线在[1，+∞)上任意点的切线总位于曲线的下方，则曲线在[1，+∞)上是凹的，故选B

7.函数y=x²的极小值点是 ( )(A)

A. x=0

B. x=2

C. y=0

D. (0，0)

解析：y=x²(x∈R)，令y’=2x=0，可得x=0为驻点，当x＜0时，y’＜0；当x＞0时，y’＞0，所以x=0是y=x²的极小值点．

8.设函数y=f(x)的导函数y’=f’(x)的图形如图所示，则下列结论正确的是 ( )

(D)

A. x=-1是f(x)的驻点，但不是极值点

B. x=-1为f(x)的极大值点

C. x=1是f(x)的极小值点

D. x=-1为f(x)的极小值点

解析：从图形上可知，f’(-1)=0，因而x=-1为f(x)的驻点，当x＜-1时，f’(x)＜0；当x＞-1时，f’(x)＞0，所以x=-1是y=f(x)的极小值点，故选D

9.曲线y=x³(x-4)的拐点个数为 ( )(B)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

解析：因为y=x⁴-4x³，x∈R，于是y’=4x³-12x²，y\\

10.要制作一个圆柱形有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为 ( )(A)

A. 1：2

B. 1：1

C. 2：1

D. 1：解析：设底面半径为r，高为h，则有

V=πr²h，S=2πrh+2πr²=+2πr²，

令S’(r)=0，得，由于驻点唯一，且实际问题最值一定存在，所以必是最小值点，此时

11.设两个函数f(x)及g(x)都在点x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在点x=a处 ( )(D)

A. 必取极大值

B

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