重庆专升本高等数学（一元函数导数的应用）模拟试卷6
证明题
1.设0＜a＜b＜1，证明不等式
令f(x)=arctanx，则[*]，在[a，b]上应用拉格朗日定理，得
[*]
所以[*]
解析：
2.当x＞0时，证明：
令[*]
[*]
当x＞0时，f’(x)＞0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)内为增函数，
故f(x)＞f(0)=0，即[*]
解析：
选择题
3.下列函数在给定区间上满足拉格朗日定理条件的有 ( )(A)
A. y=lnx/x，[-1，e]
B. 
C. 
D. y=｜x｜/x，[-1，1]
解析：B选项中，函数在x=1处导数不存在，C选项中，函数在[-2，-1)、(1，2]上无意义，D选项中，函数在x=0处无意义，A选项中，函数在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，符合拉格朗日定理的条件，故选A
4.下列极限不能用罗必塔法则求解的是 ( )
(B)
A.
B.
C.
D.
解析：B项
5.函数y=arcsinx+arctanx在区间[-1，1]上 ( )(B)
A. 单调递减
B. 单调递增
C. 无最大值
D. 无最小值
解析：因
6.设x=x0为y=f(x)的驻点，则y=f(x)在x0处不一定 ( )(C)
A. 连续
B. 可导
C. 取得极值
D. 有平行于x轴的切线
解析：驻点是导数为零的点，所以A、B项一定成立，由导数的几何意义可知D项成立，驻点不一定是极值点，故选C
7.曲线y=(2-x)-1/3在(2，+∞)内 ( )(A)
A. 单调递增且为凸的
B. 单调递增且为凹的
C. 单调递减且为凸的
D. 单调递减且为凹的
解析：
8.在区间(0，1)内，方程x1/4+x1/2-cosx=0 ( )(B)
A. 无实根
B. 有且仅有一个实根
C. 有两个实根
D. 有无穷多个实根
解析：当x∈(0，1)时，令
，显然，f(0)=-1＜0，f(1)=2-cos1＞0，由零点定理知f(x)=0在(0，1)内至少有一个根，易知当0＜x＜1时
填空题
9.函数f(x)=x2-2x在区间[0，2]上满足罗尔定理结论的ξ=___________．
1
解析：f’(x)=2x-2，因为函数在[0，2]上满足罗尔定理的条件，故存在一点ξ∈(0，2)，使得2ξ-2=0，解得ξ=1．
10.极限
3/10
解析：方法一 
方法二 
11.已知f’(x)=(x+2)(x-2)，则函数f(x)的单调递减区间是____________．
(-2，2)
解析：令f’(x)=(x+2)(x-2)＜0，解得-2＜x＜2，所以函数f(x)的单调递减区间为(-2，2)．
12.f(x)=ln(1+x2)在区间__________内为单调递减的函数．
(-∞，0)
解析：f(x)=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)，
13.函数f(x)=2-(x-4)2/3的极大值为__________．
2
解析：函数f(x)的定义域为R，
14.设点(x0，f(x0)是曲线y=f(x)的拐点，且f(x)存在二阶导数，则f\\
0
解析：拐点在二阶导数为0的点或是二阶不可导点处取得，又由题意可知函数在该点二阶可导，故f\\
15.设f’(x)=(x-1)(x+1)，则曲线f(x)在区间(1，+∞)内单调_________，在区间(1，+∞)内的凹凸性为_________．
增加，凹
解析：f’(x)=(x-1)(x+1)=x2
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