云南专升本数学（定积分及其应用）模拟试卷1

云南专升本数学（定积分及其应用）模拟试卷1

判断题

1.∫₁²xdx＞∫₁²x²dx．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：当1≤x≤2时，x²≥x，根据定积分的性质可知∫₁²xdx≤∫₁²x²dx．

2.若a＜b，且f(x)连续，则｜∫_a^bf(x)dx｜≥∫_a^b｜f(x)｜dx．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由定积分的性质可知，当a＜b时，｜∫_a^bf(x)dx｜≤∫_a^b｜f(x)｜dx．

3.定积分是一个数，它与被积函数和积分上、下限相关，而与积分变量的记法无关．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由定积分的概念可知该说法正确．

4.已知f’(x)∫₀²f(x)dx=50，且f(0)=0，则f(x)=5x．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：令∫₀²f(x)dx=A，则由题意得f’(x)=50／A，进而f(x)=50／Ax+C．又f(0)=0，得C=0，于是f(x)=50／Ax，∫₀²f(x)dx=∫₀²50／Axdx=50／A∫₀²xdx=100／A=A，由此可得∫₀²f(x)dx=A=±10，则f(x)=±5x．

5.(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：

6.设f(x)是连续函数，则对任意的a∈R，有(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：∫₀^ax³f(x²)dx=1／2∫₀^ax²f(x²)dx²

7.广义积分(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：

8.广义积分∫₁^+∞arctanx／x²dx收敛于π／4+1／2ln2．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：

9.曲线y=e^-x与直线y=0之间位于第一象限的平面图形的面积为1／2．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：如图5-2，曲线y=e^-x与直线y=0(x轴)之间位于第一象限的平面图形的面积为A=∫₀^+∞e^-xdx=-e^-x｜₀^+∞=1．

多项选择题

10.若函数f(x)是连续函数，a，b为常数，则下列说法正确的有( )(A,B,C)

A. ∫_a^bf(x)dx是常数

B. ∫_a^xf(t)dt是关于x的函数

C. ∫_a^bxf(t)dt是关于x的函数

D. ∫_a^b／xxf(tx)dt是关于x和t的函数

解析：由定积分的定义可知∫_a^b(x)dx是常数，故A项正确；由变上限的定积分的定义可知∫_a^xf(t)dt和∫_a^b／xxf(tx)dt均是关于x的函数，故B项正确D项错误；∫_a^bxf(t)dt=x∫_a^bf(t)dt是关于x的函数，故C项正确．

11.若函数f(x)在区间[a，b]上可导，则下列结论中正确的是( )(C,D)

A. 在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0

B. 在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0

C. 在区阃(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)

D. 在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得∫_a^bf(x)dx=f(ξ)(b-a)

解析：对于在闭区间[a，b]上可导的函数f(x)，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一点ξ₁∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ₁)(b-a)；由积分中值定理可知，至少存在一点ξ₂∈[a，b]，使得∫_a^bf(x)dx=f(ξ₂)(b-a)．故选CD．

12.设f(x)在[-1，1]上连续，则∫_-1<

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