云南专升本数学（定积分及其应用）模拟试卷7

云南专升本数学（定积分及其应用）模拟试卷7

判断题

1.设f(x)是连续的奇函数，且∫₀¹f(x)dx=1，则∫_-1⁰f(x)dx=1．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：f(x)是奇函数，则∫_-1¹f(x)dx=∫_-1⁰f(x)dx+∫₀¹f(x)dx=0，因此∫_-1⁰f(x)dx=-∫₀¹f(x)dx=-1．

2.∫_-π／4^π／4secxtanxdx=secx｜_-π／4^π／4=0．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由牛顿莱布尼茨公式知，命题正确．也可以利用被积函数secxtanx在[-π／4，π／4]上是奇函数，所以积分为0求解．

3.定积分∫₀¹(1-x²)³dx＞1／2．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：∫∫₀¹(1-x²)³dx=∫₀¹(3x⁴-3x²-x⁶+1)dx=(3／5x⁵-x³-1／7x⁷+x)｜₀¹=16／35＜1／2．

4.∫₀¹sinxdx=1／2(esin1+ecos1+1)．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：∫₀¹e^xsinxdx=∫₀¹sinxde^x=e^xsinx｜₀¹-∫₀¹e^xd(sinx)=esin1-∫₀¹e^xcosxdx=esin1-∫₀¹cosxde^x=esin1-e^xcosx｜₀¹+∫₀¹e^xd(cosx)=esin1-ecos1+1-∫₀¹e^xsinxdx，从而∫₀¹e^xsinxdx=1／2(esin1-ecos1+1)．

5.若∫₀^x(x-t)f(t)dt=1-cosx，则∫₀^π／2f(x)dx=1．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：因为∫₀^x(x-t)f(t)dt=1-cosx，于是有x∫₀^xf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt=1-cosx，两边对x求导得∫₀^xf(t)dt+xf(x)-xf(x)=sinx，从而有∫₀^xf(t)dt=sinx，故∫₀^π／2f(x)dx=∫₀^π／2f(t)dt=sinπ／2=1．

6.广义积分(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：，故广义积分

7.方程(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：设，x∈[0，1]，显然F(x)在区间[0，1]上连续，

又F(0)=-1＜0，

故由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，则原方程在(0，1)内至少有一个根；又因为，x∈(0，1)，故F(x)在区间[0，1]上单调增加，则F(x)=0在区间(0，1)内至多有一个根．

综上可得，方程

8.曲线y=e^x，y=e^-x及直线x=1所围成图形的面积是e+1／e-2．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：分别解方程组

9.已知某产品生产x单位时，边际收益函数为R’(x)=100-x／10(元／单位)，则生产50单位时的总收益为4875元．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由题意可知生产50单位时的总收益为R(50)=∫₀⁵⁰R’(x)dx=∫₀⁵⁰(100-x／10)dx=(100

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