云南专升本数学（常微分方程初步）模拟试卷1

云南专升本数学（常微分方程初步）模拟试卷1

判断题

1.xyy’’+xy³-x⁴y’=0的阶数是3．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：微分方程中所含的导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶，故本题中微分方程的阶数为2．

2.若微分方程的解中含有独立的任意常数的个数与该微分方程的阶数相同，则该解叫作微分方程的通解．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由微分方程通解的定义可知，通解中任意常数的个数与微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数即方程的阶数一致．

3.微分方程(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程分离变量得(2y+4y³)dy=e^xdx，两边积分得∫(2y+4y³)dy=∫e^xdx，所以通解为y²+y⁴=e^x+C．

4.微分方程(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由通解公式得微分方程的通解为

5.微分方程3e^xtanydx+(1-e^x)sec²ydy=0的通解是tany=C(e^x-1)³．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程分离变量为

6.微分方程xy’-xsiny／x-y=0的通解为cscy／x-coty／x=Cx．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：原方程可化为．令y／x=u，即y=xu，于是

代入上式得

7.微分方程y’’=-1／x²的通解为y=1／x+C₁x+C₂．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程两边积分得y’=∫(-1／x²)dx+C₁=1／x+C₁，上式两边再次积分得通解为y=∫(1／x+C₁)dx+C₂=ln｜x｜+C₁x+C₂．

8.方程y’’’=xe^x的通解为y=(x-3)e^x+C₁x+C₂．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：y’’=∫xe^xdx+C=(x-1)e^x+C，y’=∫[(x-1)e^x+C]dx+C₂=(x-2)e^x+Cx+C₂，y=∫[(x-2)e^x+Cx+C₂]dx+C₃=(x-3)e^x+C₁x²+C₂x+C₃(C₁=C／2)．

9.微分方程y’’-2y’+5y=0的通解是y=e^x(C₁sin2x+C₂cos2x)．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：特征方程为r²-2r+5=0，得特征根为r_1，2=1±2i，故通解为y=e^x(C₁sin2x+C₂cos2x)．

10.用待定系数法求二阶常系数非齐次微分方程y’’+4y=x的特解时，它的一个特解可设为y^*=Ax+B．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程对应的二阶齐次线性微分方程的特征方程为r²+4=0，解得r_1，2=±2i，f(x)=x中，λ=0不是特征方程的根，所以特解形式可设为y^*=Ax+B．

11.微分方程y’’+4y’+29y=0满足初始条件y(0)=0，y’(0)=15的特解为y=3e^-2xsin5x．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：特征方程为r²+4r+29=0，特征根为r₁=-2+5i，r₂=-2-5i，则原方程的通解为y=e^-2x(C₁cos5x+C₂sin5x)，则y’=[(-5C₁-2C₂)sin5x+(5C₂-2C₁)cos5x]e^-2x，将初始条件y(0)=0，y’(0)=15代入得C₁=0，C₂=3，故原方程的特解为y=3e^-2xsin5x．

多项选择题

12.下列方程是可分离变量的微分方程的是( )(B,C)

A. (y’)²+xy’=x

B. (1+x²)y’-2y=0

C. y’+2y／x=0

D. y’’-y’+3xy²=cosy

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