云南专升本数学（常微分方程初步）模拟试卷2

云南专升本数学（常微分方程初步）模拟试卷2

判断题

1.微分方程y’=e^x-y是可分离变量的微分方程．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：形如=f(x)·g(y)的方程称为可分离变量的微分方程，而原方程可化为

2.微分方程xy’’’+2(y’)⁵+3y⁴=0的阶数为5．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：题中含有的未知函数y的最高阶导数为y’’’，故该微分方程的阶数为3．

3.微分方程xy’-y=0的通解为y=Ce^x．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程分离变量得dy／y=dx／x，两边积分得ln｜y｜=ln｜x｜+ln｜c｜，即y=Cx．

4.已知曲线C通过原点，且其上任一点(x，y)处的法线都经过点(1，0)，则曲线C的方程为x²+y²=x．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由题意可得

5.微分方程(1+x)ydx+(1-y)xdy=0的通解为y=x+ln｜xy｜+C．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程分离变量得

6.已知方程∫₀^x(x-s)y(s)ds=sinx+∫₀^xy(s)ds，其中y为可导函数，则y(x)=-1／2(e^x+sinx+cosx)．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：∫₀^x(x-s)y(s)ds=x∫₀^xy(s)ds-∫₀^xsy(s)ds=sinx+∫₀^xy(s)ds．

方程两边对x求导得∫₀^xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=-1，上式两边再次对x求导并整理得y’-y=sinx，为一阶非齐次线性微分方程，其中P(x)=-1，Q(x)=sinx，故通解为y=e^∫dx(∫sinxe^-∫dxdx+C)=e^x(∫sinxe^-xdx+C)=Ce^x-1／2(sinx+cosx)．

又y(0)=-1，代入通解中得C=-1／2，故y(x)=-1／2(e^x+sinx+cosx)．

7.方程y’’=y’+x的通解为y=C₁e^x-x²／2-x+C₂．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：令y’=p，则y’’=p’．原方程化为p’-p=x，解此一阶非齐次线性微分方程得p=e^∫dx(∫xe^-∫dxdx+C₁)=e^x(∫xe^-xdx+C₁)=C₁e^x-x-1，即y’=C₁e^x-x-1，分离变量后两边积分得通解为y=C₁e^x-x²／2-x+C₂．

8.以y=e^2x(C₁cosx+C₂sinx)为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为y’’+4y’+5y=0．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由通解可知该方程的特征根为r₁=2+i，r₂=2-i，从而可得特征方程为(r-2)²+1=r²-4r+5=0，故此二阶常系数齐次线性微分方程为y’’-4y’+5y=0．

9.若曲线y=f(x)满足微分方程y’’-12y’+36y=0，且其在点(0，1)处与直线y=5x+1相切，则曲线方程为y=(1-x)e^6x．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：原方程的特征方程为r²-12r+36=0，即(r-6)²=0，解得特征根为r₁=r₂=6，故原方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^6x，则y’=C₂e^6x+6(C₁+C₂x)e^6x，又由题意可知y(0)=1，y’(0)=5，所以可得C₁=1，C₂=-1，故曲线为y=(1-x)e^6x．

多项选择题

10.下列函数可以作为微分方程y’=y的解的是( )(A,D)

A. y=e^x

B. y=x

C. y=lnx

D. y=0

解析：微分方程分离变量得dy／y=dx，两边积分得ln｜y｜=x+C₁，即y=Ce^x，取C=0，得方程的一个解为y=0，取C=1，得方程一个解为y=e^x．故选AD．

注：本题也可以将四个选项中的函数代入到微分方程中，看是否满足方程，从而得到答案．

11.已知微分方程y’+ay=e^x的一个特解为y=xe^x，a为常数，则( )(B,D)

A. a=1

B. 微分方程的通解为y=e^x(x+C)

C. 微分方程的通解为y=1／2e^x+Ce^-x

D. 微分方程满足初始条件y(0)=1的特解为y=e^x(x

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