云南专升本数学（常微分方程初步）模拟试卷3

云南专升本数学（常微分方程初步）模拟试卷3

判断题

1.微分方程dy-2xdx=0的通解为y=x²．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：微分方程分离变量得dy=2xdx，两边积分得∫dy=∫2xdx，解得y=x²+C．

注：由于一阶微分方程的通解中必含有任意常数C，故可直接判断命题错误．

2.xy’’’+2x²(y’)²+x³y=x⁴+1是三阶微分方程．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：微分方程的阶数是方程中未知函数的最高阶导数的阶数，故该方程的阶数为3，是三阶微分方程．

3.方程满足初始条件y(1)=0的特解是(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程分离变量得，两边积分得，将y(1)=0代入得C=-1，所以满足初始条件的方程的特解为

4.已知可导函数y(x)满足y(x)=1+∫₁^x4／sy(s)ds，则y(x)=x⁴．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程两边同时对x求导得y’(x)=4／xy(x)，则y’(x)／y(x)=4／x，两边积分得∫y’(x)／y(x)dx=∫4／xdx，解得ln｜y(x)｜=｜lnx⁴+C₁，即y(x)=Cx⁴．又由题意可知y(1)=1，代入解得C=1，故y(x)=x⁴．

5.方程(xy²+x)dx+(y-x²y)dy=0满足y｜_x=0=1的特解为(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程分离变量得，两边积分得1／2ln｜x²-1｜=1／2ln(y²+1)+1／2ln｜C｜，所以x²-1=C(y²+1)．又y｜_x=0=1，故C=-1／2，则方程的特解为

6.已知可导函数f(x)满足∫₀¹f(tx)dt=1／3f(x)+x，则f(x)=Cx²+6x．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：将所给方程两边同乘以x得∫₀¹f(tx)d(tx)=1／3xf(x)+x²，令u=tx，则上式变为∫₀^xf(u)du=1／3xf(x)+x²，两边对x求导得f(x)=1／3f(x)+1／3xf’(x)+2x，即f’(x)-2／xf(x)=-6．

由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得f(x)=e^∫2／xdx(∫-6e^-∫2／xdxdx+C)=x²(∫-6／x²dx+C)=x²(6／x+C)=Cx²+6x．

7.方程x²y’’+2xy’=1满足条件y(1)=0，y’(1)=1的特解为y=ln｜x｜．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：将原方程改写为y’’+2／xy’=1／x²，令y’=p，则y’’=p’，方程可写为p’+2／xp=1／x²，则p=y’=e^-∫2／xdx(∫1／x²e^∫2／xdxdx+C)=1／x²(x+C)．

代入y’(1)=1，得C=0，即y’=1／x，分离变量并两边积分得y=ln｜x｜+C₁，南y(1)=0得C₁=0，则所求特解为y=ln｜x｜．

8.微分方程y’’-11y’+10y=0的通解为y=C₁e^x+C₂e^10x．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：特征方程为r²-11r+10=0，特征根为r₁=1，r₂=10，故通解为y=C₁e^x+C₂e^10x．

9.微分方程y’’+9y=0的通解是y=C₁+C₂e^-9x．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：特征方程为r²+9=0，解得特征根为r_1，2=±3i，故通解为y=C₁cos3x+C₂sin3x．

10.已知y=e^ex，y=xe^ex是某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为y’’-2ey’+e²y=0．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由已知条件可得所求微分方程的特征方程有两个相等的实根为r₁=r₂=e，则特征方程为(r-e)²=

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