云南专升本数学（导数的应用）模拟试卷2

云南专升本数学（导数的应用）模拟试卷2

判断题

1.若f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，那么方程f’(x)=0在区间(1，3)内有两个实根．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：因为f(x)在(-∞，+∞)内连续可导，且f(1)=f(2)=f(3)=0，所以由罗尔中值定理可得，至少存在两点ξ₁∈(1，2)，ξ₂∈(2，3)，使得f’(ξ₁)=f’(ξ₂)=0．因为f(x)是三次多项式．所以f’(x)是二次多项式，最多有两个零点，所以f’(x)=0在区间(1，3)内有两个实根．

2.函数f(x)=x³-3／2x²在区间[0，3／2]上满足罗尔中值定理结论的ξ=1／2．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：f’(x)=3x²-3x=3x(x-1)，因为f(x)在[0，3／2]上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点ξ∈(0，3／2)，使得3ξ(ξ-1)=0，解得ξ=1．

3.如果f(x)=x²+kx+3在区间[-1，3]上满足罗尔中值定理的条件，则k=0．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：f(x)=x²+kx+3在[-1，3]上连续，在(-1，3)内可导，若f(x)在[-1，3]上满足罗尔中值定理的条件，则f(-1)=f(3)，即4-k=12+3k，解得k=-2．

4.极限(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方法一

方法二

5.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：因为f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，

所以存在x₀∈(a，b)，使f(x)≠f(a)，则f(x₀)＞f(a)或f(x₀)＜f(a)．

不妨设f(x₀)＜f(a)．则在[x₀，b]上应用拉格朗日中值定理，得至少存在一点ξ∈(x₀，b)(a，b)，使得

6.已知当x→0时，sinx／2-x／2是atanx³的等价无穷小，则a=1／48．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由题意可知

7.函数f(x)=x-ln(1+x)的驻点为x=0．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：

8.曲线f(x)=x³-3x²-9x的拐点坐标为(1，-11)．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：函数的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=3x²-6x-9，f’’(x)=6x-6，令f’’(x)=0，得x=1，f(1)=-11，又当x＜1时，f’’(x)＜0：当x＞1时，f’’(x)＞0，故点(1，-11)是曲线的拐点．

9.已知需求函数Q=20-4p，其中p为价格，则当销售量为5时，收入最大．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：收入

10.设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f’’(x)在(0，+∞)内恒大于零，则g(x)=f(x)／x在(0，+∞)内单调递减．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：

11.一艘轮船甲以20海里／时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙在其正北82海里处以16海里／时的速度向南行驶，经过2小时后，两船相距最近．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：设经过t小时两船相距S海里，如图3-1所示，

则

多项选择题

12.下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的有( )(A,C,D)

A. y=ln｜sinx｜，[-π／2，π／2]

B. y=cosx，[0，π]

C. D. 解析：A选项中，函数在点x=0处无定义；B选项中，函数在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，符合拉格朗日中值定

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