云南专升本数学（常微分方程初步）模拟试卷4

云南专升本数学（常微分方程初步）模拟试卷4

判断题

1.微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=1的解为(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：原方程整理得dy／y=-1／xdx，两边积分得ln｜y｜=-ln｜x｜+ln｜C｜，即y=C／x．又y(1)=1，所以C=1，故原方程满足y(1)=1的特解为y=1／x．

2.微分方程的通解中包含了它所有的解．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：通解不一定包含所有解，比如方程y’=-y²，对其分离变量并积分可得其通解为y=

3.微分方程满足y｜_x=0=0的特解为(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：方程分离变量得，两边积分有，即．将初始条件y｜_x=0=0代入得C=3／4，则方程的特解为

4.已知曲线y=f(x)过点(0，-1／2)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率均为xln(1+x²)，则f(x)=1／2(1+x²)[ln(1+x²)-1]．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由题意可知y’=xln(1+x²)，即dy=xln(1+x²)dx，等式两端积分得y=∫xln(1+x²)dx=1／2∫ln(1+x²)d(1+x²)

5.设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足条件：f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，f(0)=0，且f(x)+g(x)=2e^x．则F(x)=e^2x-e^-2x．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：由题意可知F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g²(x)+f²(x)=[f(x)+g(x)]²-2f(x)g(x)=(2e^x)²-2F(x)，即F(x)满足微分方程F’(x)+2F(x)=4e^2x，为一阶非齐次线性微分方程，由通解公式得F(x)=e^-∫2dx(∫4e^2x·e^∫2dx+C)=e^-2x(∫4e^4xdx+C)=e^2x+Ce^-2x．

将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1，于是F(x)=e^2x-e^-2x．

6.微分方程y’’-16y’+64y=0的通解是y=C₁e^8x+C₂e^-8x．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：对应的特征方程为r²-16r+64=0，解得特征根r₁=r₂=8，故通解为y=(C₁+C₂x)e^8x．

7.用待定系数法求方程y’’=2y’+5y=e^xsin2x的特解时，特解可设为y^*=xe^x(Asin2x+Bcos2x)．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：特征方程为r²-2r+5=0，解得特征根为r_1，2=1±2i，而原方程的非齐次项为e^xsin2x，1±2i是特征根，因此其特解可设为y^*=xe^x(Asin2x+Bcos2x)．

8.已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解y₁=e^x，y₂=x，则该方程满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解为y=e^x+2x．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：y₁，y₂是二阶常系数齐次线性方程的两个线性无关的特解，所以由线性微分方程解的结构得y=C₁y₁+C₂y₂=C₁e^x+C₂x是该二阶齐次微分方程的通解，则y’=C₁e^x+C₂，再由初始条件y(0)=1，y’(0)=2可得C₁=C₂=1，故特解为y=e^x+x．

多项选择题

9.下列是微分方程的是( )(B,C,D)

A. x²+y²=R

B. (y’)²+3y=0

C. dy+1／xdx=2dx

D. y’’=e^x-y

解析：微分方程是含有未知函数、未知函数的导数或微分

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