云南专升本数学（导数的应用）模拟试卷7

云南专升本数学（导数的应用）模拟试卷7

判断题

1.函数f(x)=4x³在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理结论的(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：f’(x)=12x²，f(x)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，即12ξ²=4，所以

2.利用洛必达法则可以计算一切极限值．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：利用洛必达法则只可以求部分未定式的极限值．

3.设f(x)在[1，e]上可导，且f(1)=0，f(e)=1，则f’(x)=1／x在(1，e)内没有实根．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：设F(x)=f(x)-lnx，由题意可知F(x)在[1，e]上连续，在(1，e)内可导，F(1)=0，F(e)=0，F’(x)=f’(x)-1／x．

由罗尔中值定理得至少存在一点ξ∈(1，e)，使F’(ξ)=0，即f’(ξ)-1／ξ=0．

所以f’(x)=1／x在(1，e)内至少有一个实根．

4.f(x)=ln(1+x²)在区间(0，+∞)内为单调递减的函数．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：f(x)=ln(1+x²)的定义域为(-∞，+∞)，

5.已知f(x)=xe^-x，则f(x)的凸区间是(2，+∞)．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：函数的定义域是(-∞，+∞)，f’(x)=e^-x-xe^-x=(1-x)e^-x，f’’(x)=-e^-x-(1-x)e^-x=(x-2)e^-x，令f’’(x)＜0．解得x＜2．即f(x)的凸区间是(-∞，2)．

6.曲线(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：因为

7.当x＞1时，(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：令，x∈[1，+∞)，则f(x)在[1，+∞)上连续．

当x＞1时，，所以f(x)在[1，+∞)上单调增加，则x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即，所以

8.方程x³-3x+1=0有且仅有三个实根．( )(A)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：令f(x)=x³-3x+1，则f’(x)=3(x+1)(x-1)，令f’(x)=0，得x=±1．

当-1＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1或x＜-1时，f’(x)＞0，f(x)单调递增．

所以f(x)至多有三个零点．

因为f(-2)=-1＜0，f(-1)=3＞0，f(1)=-1＜0，f(2)=3＞0，由零点定理可知，函数f(x)在(-2，-1)，(-1，1)及(1，2)内各至少存在一个零点．

综上可得f(x)有三个零点，即方程x³-3x+1=0有且仅有三个实根．

9.若函数f(x)在[0，1]上满足f’’(x)＞0，则f’(0)＞f’(1)＞f(1)-f(0)．( )(B)

A. 正确

B. 错误

C.

解析：f’’(x)＞0，则f’(x)在[0，1]上单调递增，又由拉格朗日中定理得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)．故有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)．

多项选择题

10.下列函数在给定区间上不满足罗尔中值定理条件的有( )(A,B,D)

A. y=2^x，[0，1]

B. y=｜x｜，[-1，1]

C. y=(x-4)²，[-2，10]

D. y=arcsin(x+1)，[-2，2]

解析：A选项中，y(0)≠y(1)；B选项中，函数在x=0处不可导；C选项中，函数在[-2，10]上连续，在(-2，10)内可导，y(-2)=y(10)=36．符合罗尔中值定理的条件；D选项中，函数在(0，2]上无定义．故选ABD．

11.设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，则下列说法正确的有( )(A,D)

A. f(x)=1在[0，2]上至少有一个实根

B. f(x)=1在[0，2]上没有实根

C. f(x)在[0，3]上满足罗尔中值定理的条件

D. 必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0

解析：因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，故

本文档预览：3500字符，共10378字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载