湖南专升本高等数学（一元函数积分学）模拟试卷8

湖南专升本高等数学（一元函数积分学）模拟试卷8

证明题

1.已知f(x)是连续函数，证明：∫^a₀x³f(x²)dx=

令x²=u，则du=2xdx，当x=0时，u=0；当x=a时，u=a²，故

[*]

解析：

选择题

2.下列说法正确的是( )(A)

A. 若f(x)在[a，b]上连续，则∫^b_af(x)dx一定存在

B. 若f(x)在[a，b]上不连续，则∫^b_af(x)dx一定不存在

C. 若∫^b_af(x)dx存在，则f(x)在[a，b]上一定连续

D. 若∫^b_af(x)dx存在，则f(x)在[a，b]上一定可导

解析：由可积的充分条件可知A项正确，若f(x)在[a，b]上有界且有有限个间断点，则∫^b_af(x)dx也存在，从而可知∫^b_af(x)dx存在，f(x)在[a，b]上不一定连续，从而不一定可导．

3.定积分(B)

A. -1

B. 0

C. 1

D. ln2

解析：由于积分区间是对称区间，被积函数是奇函数，因此由对称区间上定积分的性质可得

4.设函数f(x)连续，且F(x)=∫^e-x_xf(t)dt，则F’(x)=( )(A)

A. -e^-xf(e^-x)-f(x)

B. -e^-xf(e^-x)+f(x)

C. e^-x=f(e^-x)-f(x)

D. e^-xf(e^-x)+f(x)

解析：F’(x)=[∫^e-x_xf(t)dt]’=f(e^-x)·(e^-x)’-f(x)·(x)’=-e^-xf(e^-x)-f(x)．

5.设f(x)=∫^x₀t²(t-1)dt，则f(x)的极小值点为( )(C)

A. x=0，x=1

B. x=0

C. x=1

D. x=1/2

解析：x∈(-∞，+∞)，f’(x)=x²(x-1)，令f’(x)=0，得x=0或1，当x＜0时f’(x)＜0；当0＜x＜1时，f’(x)＜0；当x＞1时f’(x)＞0，所以函数的极小值点为x=1．

6.定积分∫^e-2_-1ln(2+x)dx=( )(A)

A. 1

B. e

C. 3

D. e+1

解析：∫^-2_-1ln(2+x)dx=∫^e-2_-1ln(2+x)d(x+2)

=(x+2)ln(2+x)｜^e-2_-1–

7.设连续曲线y=f(x)在区间[0，1]上与x轴围成的三块图形分别为D₁、D₂、D₃，D₁、D₂、D₃的面积分别为S₁、S₂、S₃，其中，D₁、D₃在x轴下方，D₂在x轴上方，已知S₁=2S₂-2，S₂+S₃=3，则∫¹₀f(x)dx=( )(B)

A. 1

B. -1

C. -5

D. 5

解析：由定积分的几何意义可得∫¹₀f(x)dx=S₂-(S₁+S₃)=S₂-(2S₂-2+3-S₂)=-1．

8.若广义积分∫^+∞₁kx^-6dx=1，其中k为常数，则k=( )(B)

A. 1

B. 5

C. 1/5

D. 6

解析：因为

9.由曲线y=1/x，直线y=x，x=2所围成图形的面积为( )

(B)

A.

B.

C.

D.

解析：曲线y=1/x与直线y=x，x=2所围图形如图阴影部分所示，则

10.由椭圆曲线(C)

A. 2π

B. π

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