福建省专升本（高等数学）模拟试卷17

福建省专升本（高等数学）模拟试卷17

综合题

设平面图形D由曲线

1.平面图形D的面积；

由题意可知所围成的平面图形D如图所示.易求得曲线[*]与直线y＝1的交点分别为(2，1)，(－1，1).

[*]

所求平面图形D的面积为

[*]

解析：

2.平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

所求旋转体的体积为

[*]

解析：

设f(x)＝x⁵－5x＋k．

3.求f(x)的单调区间与极值点；

f(x)＝x⁵－5x＋k，x∈R，f’(x)＝5x⁴－5，

令f’(x)＝0，解得x＝±1.

当x∈(－∞，41)时，f’(x)＞0；当x∈(－1，1)时，f’(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f’(x)>0，

故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为[－1，1]；

x＝－1为f(x)的极大值点，x＝1为f(x)的极小值点．

解析：

4.若曲线f(x)与x轴有且仅有3个交点，试讨论k的取值范围.

f(x)的极大值f(－1)＝4＋k，极小值f(1)＝－4＋k，

[*]＝＋∞，

又f(x)与x轴有3个交点，

故f(－1)＞0，f(1)＜0，即[*]解得－4＜k＜4.

解析：

选择题

5.函数f(x)＝ln(1－x)＋(C)

A. [－2，－1]

B. [－2，1]

C. [－2，1)

D. (－2，1)

解析：要使函数有意义，自变量x应满足

6.极限(B)

A. 1

B. 2

C. －5／6

D. －5／3

解析：

7.设f(x)＝(e^x－1)／x，则x＝0是f(x)的( )(B)

A. 连续点

B. 可去间断点

C. 跳跃间断点

D. 无穷间断点

解析：由于

8.方程2^x－cosx＝1在区间________内至少有一个根.( )(B)

A. (－1，0)

B. (0，1)

C. (1，2)

D. (2，3)

解析：令f(x)＝2^x－cosx－1，则f(x)在定义城R内连续，且f(－1)＝－1／2－cos1＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝1－cos1＞0，f(2)＝3－cos2＞0.，f(3)＝7－cos3＞0，四个选项的区间端点函数值乘积中只有f(0)f(1)＜0，所以由零点定理可知方程2^x－cosx＝1在区间(0，1)内至少有一个根.

9.若函数f(u)可导，且y＝f(x³)，则y’＝( )(C)

A. 3x²f’(x³)dx

B. f’(x³)

C. 3x²f’(x³)

D. 3x²f(x³)

解析：由于f(u)可导，所以y’＝f’(x⁴)(x³)’＝3x²f’(x³).

10.对函数f(x)＝(D)

A. 3／2

B. 2／3

C. 4／9

D. 9／4

解析：由拉格朗日定理可得f’(ξ)＝

11.∫sin(5x＋3)dx＝( )(A)

A. －cos(5x＋3)／5＋C

B. cos(5x＋3)／5＋C

C. cos(5x＋3)＋C

D. sin(5x＋3)＋C

解析：∫sin(5x＋3)dx＝(1／5)∫sin(5x＋3)d(5x＋3)＝(－1／5)cos(5x＋3)＋C

12.已知函数y＝xarctanx，则y”＝( )

(A)

A.

B.

C.

D.

解析：y”＝arctanx＋

13.已知两向量a＝2i－3j＋k，b＝－2i＋3j－k，则有( )

A

解析：由于向量a＝2i－3j＋k，b＝－2i＋3j－k，满足a＝－b，即a＋b＝0，故两向量平行．

14.下列函数是方程xy’＝2y的特解的是( )(B)

A. y＝2x

B. y＝x²

C. y＝2x³

D. y＝x²＋1

解析：方程分离变量得dy／y＝2dx／x，

两边积分得∫dy／y＝2∫dx／x，解得lnly|＝2ln|x|＋C₁，所以通解为y＝Cx²，当C＝1时，可得特解为y＝x².

填空题

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